Se o inteiro
representa a quantidade de voltas que o ponto
descreve em torno da origem enquanto
percorre
uma vez no sentido positivd, determine
quando:
é o quadrado de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado diz que $\gamma$ é o quadrado de vértices $+1+ j$, $+1- j$,$-1- j$,$-1+ j$ descrito uma vez no sentido positivo, e que $f(z)=1/z$. Precisamos achar o inteiro $N$ que conta quantas voltas $w=f(z)$ dá em torno da origem quando $z$ percorre $\gamma$.
Passo 2
O conceito fundamental aqui é o número de volta (ou índice) que a curva $w(\gamma)$ faz em torno de zero. Em geral, se $\gamma$ envolve a origem uma vez no sentido positivo e $f$ é uma função meromorfa sem zeros ou polos sobre $\gamma$, o número de voltas de $f(\gamma)$ em zero é o grau da aplicação $f$ restrita a $\gamma$.
Passo 3
A função $f(z)=1/z$ tem um polo de ordem 1 em $z=0$, que está dentro de $\gamma$. Geometricamente, a aplicação
inverte a orientação da volta. Assim, se $\gamma$ dá uma volta positiva em torno de zero, $f(\gamma)$ dará uma volta negativa. Logo, $N=-1$.
Resposta
-1