Se o inteiro N representa a quantidade de voltas que o ponto w=f(z) descreve em torno da origem enquanto z percorre gamma uma vez no sentido positivd, determine N quando:
gamma é o quadrado de vértices pm 1 pm j e f(z)=1 / z.

Passo 1

O enunciado diz que $\gamma$ é o quadrado de vértices $+1+ j$, $+1- j$,$-1- j$,$-1+ j$ descrito uma vez no sentido positivo, e que $f(z)=1/z$. Precisamos achar o inteiro $N$ que conta quantas voltas $w=f(z)$ dá em torno da origem quando $z$ percorre $\gamma$.

Passo 2

O conceito fundamental aqui é o número de volta (ou índice) que a curva $w(\gamma)$ faz em torno de zero. Em geral, se $\gamma$ envolve a origem uma vez no sentido positivo e $f$ é uma função meromorfa sem zeros ou polos sobre $\gamma$, o número de voltas de $f(\gamma)$ em zero é o grau da aplicação $f$ restrita a $\gamma$.

Passo 3

A função $f(z)=1/z$ tem um polo de ordem 1 em $z=0$, que está dentro de $\gamma$. Geometricamente, a aplicação f(z)=1/z inverte a orientação da volta. Assim, se $\gamma$ dá uma volta positiva em torno de zero, $f(\gamma)$ dará uma volta negativa. Logo, $N=-1$.

Resposta

-1

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