(1.0 ponto) Calcule o volume do tetraedro com vértices (0,0,0), (2, 0, 0), ( 0,2,0 ) e (0,0,2).
integral triplaE 1 d V

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o volume do tetraedro cujos vértices são (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla (ou, alternativamente, pela fórmula de determinante para volume de paralelepípedo dividido por 6). Vamos precisar descrever a região E em coordenadas cartesianas e montar a integral integral triplaE1,dV.

Passo 2

A região E é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que x>=0, y>=0, z>=0 e x+y+z<=2. Isso porque as faces do tetraedro correspondem aos planos coordenados e ao plano que passa pelos outros três vértices.

Passo 3

Montamos a integral tripla em ordem dz,dy,dx:
integralx=0^2integraly=0^2-xintegralz=0^2-x-y1,dz,dy,dx
Primeiro, integramos em z:
integral0^2-x-y1,dz = 2 - x - y
Agora integramos em y:
integraly=0^2-x(2 - x - y),dy = l[(2-x)y - y^22r]0^2-x = (2-x)^2 - (2-x)^22 = (2-x)^22
Por fim, integramos em x:
integralx=0^2(2-x)^22,dx = 12integral0^2(4 - 4x + x^2),dx = 12l[4x - 2x^2 + x^33r]0^2 = 12 cdot 83 = 43

Resposta

43

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