(1.0 ponto) Calcule o volume do tetraedro com vértices
,
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o volume do tetraedro cujos vértices são (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla (ou, alternativamente, pela fórmula de determinante para volume de paralelepípedo dividido por 6). Vamos precisar descrever a região E em coordenadas cartesianas e montar a integral
.
Passo 2
A região E é o conjunto de pontos
tais que
,
,
e
. Isso porque as faces do tetraedro correspondem aos planos coordenados e ao plano que passa pelos outros três vértices.
Passo 3
Montamos a integral tripla em ordem
:
Primeiro, integramos em
:
Agora integramos em
:
Por fim, integramos em
: