Dado que y1(t)=(1 / 4) sen 2 t é uma solução para y^prime prime+2 y^prime+ 4 y^prime=cos 2 t e que y2(t)=t / 4-1 / 8 é uma solução para y^prime prime 2 y^prime+4 y=1, use o princípio da superposição para encontrar soluçöes para:

Passo 1

O enunciado dá duas soluções particulares para a mesma parte esquerda linear L[y]=y''+2y'+4y: uma para a força cos2t e outra para a força constante. Vamos usar o princípio da superposição para construir soluções quando a força for combinação dessas duas.

Passo 2

Em EDOs lineares, se L[y1]=f1 e L[y2]=f2, então L[y1+y2]=f1+f2 e L[y1-y2]=f1-f2. Esse é o coração do princípio da superposição.

Passo 3

Para encontrar uma solução de y''+2y'+4y=cos2t+1, basta somar as soluções dadas:

Passo 4

Para encontrar uma solução de y''+2y'+4y=cos2t-1, basta subtrair as soluções dadas:

Resposta

Para y''+2y'+4y=cos2t+1:
y(t)=y1(t)+y2(t)=14sin2t+t4-18
Para y''+2y'+4y=cos2t-1:
y(t)=y1(t)-y2(t)=14sin2t-t4+18

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