Dado que y1(t)=(1 / 4) sen 2 t é uma solução para y^prime prime+2 y^prime+ 4 y^prime=cos 2 t, use o princípio da superposição para encontrar soluções para:
& (c) y^prime prime+2 y^prime+4 y=11 t-12 cos 2 t

Passo 1

A gente tem uma EDO linear de segunda ordem não homogênea: y''+2y'+4y=11t-12cos2t. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes indeterminados e o princípio da superposição: como a equação é linear, podemos achar separadamente uma solução particular para 11t e outra para -12cos2t, e depois somar. Além disso, a solução geral será essa soma mais a solução geral da homogênea y''+2y'+4y=0.

Passo 2

Para resolver o termo polinomial 11t, assumimos um chute do tipo yp1(t)=at+b. Calculamos as derivadas:
yp1'=a,
yp1''=0
Substituindo em y''+2y'+4y=11t
0+2a+4(at+b)=11t
Isso leva a
4a=11,
2a+4b=0
Daí a=tfrac114 e b=-tfrac118, logo
yp1(t)=114t-118

Passo 3

Para o termo -12cos2t, usamos o princípio da superposição direto com a solução conhecida y1(t)=tfrac14sin2t, que satisfaz
y''+2y'+4y=cos2t
Multiplicando ambos lados por -12), uma solução particular para -12cos2t é
yp2(t)=-12,y1(t)=-12cdot14sin2t=-3sin2t

Passo 4

A solução geral da parte homogênea y''+2y'+4y=0 é
yh(t)=e^-tl(C1cos(raiz3,t)+C2sin(raiz3,t)r)
Somando tudo, a solução geral da não homogênea fica
y(t)=yh(t)+yp1(t)+yp2(t)

Resposta

y(t)=e^-tl(C1cos(raiz3,t)+C2sin(raiz3,t)r)+114t-118-3sin2t

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