Completando os quadrados dos termos em x, y e z, determinar a natureza do lugar, representado pela equação 2 x^2- 3 y^2-2 z^2-8 x+6 y-12 z-21=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 z^{2} - 8 x + 6 y - 12 z - 21 = 0. O conteúdo é completamento de quadrados em três variáveis para trazer a forma canônica de uma quádricas e, a partir dela, identificar do que se trata.

Passo 2

Começamos pelo termo em x: agrupando 2 x^{2} - 8 x temos
2 x^2 - 8 x = 2l(x^2 - 4 xr) = 2l[(x - 2)^2 - 4r] = 2(x - 2)^2 - 8

Passo 3

Em seguida, o termo em y: agrupando -3 y^{2} + 6 y temos
-3 y^2 + 6 y = -3l(y^2 - 2 yr) = -3l[(y - 1)^2 - 1r] = -3(y - 1)^2 + 3

Passo 4

Agora o termo em z: agrupando -2 z^{2} - 12 z temos
-2 z^2 - 12 z = -2l(z^2 + 6 zr) = -2l[(z + 3)^2 - 9r] = -2(z + 3)^2 + 18

Passo 5

Substituindo tudo de volta na equação original e somando as constantes restantes:
2(x - 2)^2 - 8;+ (-3)(y - 1)^2 + 3 +(-2)(z + 3)^2 + 18 - 21 = 0
As constantes dão -8 + 3 + 18 - 21 = -8. Logo,
2(x - 2)^2 - 3(y - 1)^2 - 2(z + 3)^2 - 8 = 0
ou
2(x - 2)^2 - 3(y - 1)^2 - 2(z + 3)^2 = 8

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 8, obtemos a forma canônica
(x - 2)^24 - (y - 1)^28/3 - (z + 3)^24 = 1
Há um sinal positivo e dois sinais negativos, o que caracteriza um hiperbolóide de duas folhas. O eixo principal é paralelo ao eixo x e o centro está em (2,1,-3).

Resposta

Hiperbolóide de duas folhas, de centro (2,1,-3), eixo principal paralelo a x, com equação canônica (x-2)^24-(y-1)^28/3-(z+3)^24=1.

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