Completando os quadrados dos termos em
e
, determinar a natureza do lugar, representado pela equação
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de equação 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 z^{2} - 8 x + 6 y - 12 z - 21 = 0. O conteúdo é completamento de quadrados em três variáveis para trazer a forma canônica de uma quádricas e, a partir dela, identificar do que se trata.
Passo 2
Começamos pelo termo em x: agrupando 2 x^{2} - 8 x temos
Passo 3
Em seguida, o termo em y: agrupando -3 y^{2} + 6 y temos
Passo 4
Agora o termo em z: agrupando -2 z^{2} - 12 z temos
Passo 5
Substituindo tudo de volta na equação original e somando as constantes restantes:
As constantes dão -8 + 3 + 18 - 21 = -8. Logo,
ou
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 8, obtemos a forma canônica
Há um sinal positivo e dois sinais negativos, o que caracteriza um hiperbolóide de duas folhas. O eixo principal é paralelo ao eixo x e o centro está em (2,1,-3).
Resposta
Hiperbolóide de duas folhas, de centro (2,1,-3), eixo principal paralelo a x, com equação canônica
.