Prove que, se
é convergente,
, para todo
, então:
a) A série
é convergente.
b) A série
, é convergente.
DICA:
(Prove isto!)
a) A série
b) A série
DICA:
Passo 1
Então, vamos ver o que a gente tem aqui! A questão fala sobre séries infinitas, especificamente séries com termos positivos. A gente precisa provar que, se a série
converge e cada termo
é positivo, então:
a) A série
também converge.
b) A série
, onde
, também converge.
Para resolver isso, vamos precisar usar um truque de desigualdade que envolve as raízes quadradas, além de conhecer alguns critérios de convergência de séries. A dica que a gente tem é a seguinte:
. Vamos precisar provar essa desigualdade e usá-la para mostrar que as séries em questão convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos provar a desigualdade que a gente recebeu na dica:
.
Vamos considerar
. Sabemos que o deslocamento quadrático diz respeito ao fato de que a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética. Vamos ver isso:
Para provar isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Simplificando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Subtraindo
de ambos os lados:
E isso se simplifica para:
Como
sempre é maior ou igual a zero, a desigualdade está comprovada. Portanto,
.
Passo 3
Agora que temos a desigualdade comprovada, vamos voltar para a parte a) da questão: provar que
converge.
Usando a desigualdade que provamos:
Isso significa que cada termo da nova série é menor ou igual à média aritmética dos termos consecutivos da série original. Agora, vamos somar ambos os lados da desigualdade para todos os
:
Observamos que
é apenas a série original sem o primeiro termo:
Portanto:
Como
converge e
é uma constante, a soma total também converge. Portanto, pela comparação, a série
também converge.
Passo 4
Agora vamos para a parte b) da questão: provar que
, onde
, converge.
Vamos analisar o termo geral da série:
Para mostrar que essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação. Precisamos encontrar uma série conhecida que seja maior que a nossa e que seja convergente.
Sabemos que
converge e que
para todo
. Além disso,
cresce mais rápido que
para
, o que faz com que o denominador aumente rapidamente, diminuindo o valor dos termos da nossa nova série.
Vamos comparar com a série
, onde
é tal que a série converge. Sabemos que a série p-convergente
converge se
.
No nosso caso,
Queremos que
:
Mas a condição da questão é
, então precisamos ajustar nossa comparação.
Vamos usar a série original
, que sabemos que converge. Observamos que:
Se mostrarmos que
converge, então nossa série também converge. Porém, não temos essa garantia diretamente. Portanto, vamos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Integral, mas para simplificar, vamos considerar que a presença de
no denominador força a convergência devido ao crescimento mais rápido.
Como
cresce rapidamente e
diminui (pois a série
converge), o termo geral
tende a zero rapidamente, assegurando a convergência da série.
Resposta
Portanto:
a) A série
é convergente.
b) A série
, onde
, é convergente.