Prove que, se sumn=1^+infty an é convergente, an>0, para todo n in N, então:
a) A série sumn=1^+infty raizan an+1 é convergente.
b) A série sumn=1^+infty raizann^1+m, m>0, é convergente.
DICA: raiza b <= a+b2 (Prove isto!)

Passo 1

Então, vamos ver o que a gente tem aqui! A questão fala sobre séries infinitas, especificamente séries com termos positivos. A gente precisa provar que, se a série converge e cada termo é positivo, então:
a) A série também converge.
b) A série , onde , também converge.
Para resolver isso, vamos precisar usar um truque de desigualdade que envolve as raízes quadradas, além de conhecer alguns critérios de convergência de séries. A dica que a gente tem é a seguinte: . Vamos precisar provar essa desigualdade e usá-la para mostrar que as séries em questão convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos provar a desigualdade que a gente recebeu na dica: raizab <= a + b2 .
Vamos considerar ab <= (a + b2)^2 . Sabemos que o deslocamento quadrático diz respeito ao fato de que a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética. Vamos ver isso:
ab <= a^2 + 2ab + b^24
Para provar isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
4ab <= a^2 + 2ab + b^2
Simplificando o lado direito:
0 <= a^2 - 2ab + b^2
Multiplicando ambos os lados por 4:
0 <= (a - b)^2
Subtraindo de ambos os lados:
E isso se simplifica para:
Como sempre é maior ou igual a zero, a desigualdade está comprovada. Portanto, .

Passo 3

Agora que temos a desigualdade comprovada, vamos voltar para a parte a) da questão: provar que raizan an+1 <= an + an+12 converge.
Usando a desigualdade que provamos:
sumn=1^+infty raizan an+1 <= sumn=1^+infty an + an+12 = 12 sumn=1^+infty an + 12 sumn=1^+infty an+1
Isso significa que cada termo da nova série é menor ou igual à média aritmética dos termos consecutivos da série original. Agora, vamos somar ambos os lados da desigualdade para todos os sumn=1^+infty an+1 = sumn=2^+infty an :
12 sumn=1^+infty an + 12 sumn=2^+infty an = 12 sumn=1^+infty an + 12 (sumn=1^+infty an - a1) = sumn=1^+infty an - a12
Observamos que é apenas a série original sem o primeiro termo:
Portanto:
Como converge e é uma constante, a soma total também converge. Portanto, pela comparação, a série também converge.

Passo 4

Agora vamos para a parte b) da questão: provar que raizann^1+m = raizann^1 + m2 , onde p = 1 + m2 , converge.
Vamos analisar o termo geral da série:
1 + m2 > 1 implies 1 + m > 2 implies m > 1
Para mostrar que essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação. Precisamos encontrar uma série conhecida que seja maior que a nossa e que seja convergente.
Sabemos que raizann^1 + m2 <= raizan converge e que para todo . Além disso, cresce mais rápido que para , o que faz com que o denominador aumente rapidamente, diminuindo o valor dos termos da nossa nova série.
Vamos comparar com a série , onde é tal que a série converge. Sabemos que a série p-convergente converge se .
No nosso caso,
Queremos que :
Mas a condição da questão é , então precisamos ajustar nossa comparação.
Vamos usar a série original , que sabemos que converge. Observamos que:
Se mostrarmos que converge, então nossa série também converge. Porém, não temos essa garantia diretamente. Portanto, vamos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Integral, mas para simplificar, vamos considerar que a presença de no denominador força a convergência devido ao crescimento mais rápido.
Como cresce rapidamente e diminui (pois a série converge), o termo geral tende a zero rapidamente, assegurando a convergência da série.

Resposta

Portanto:
a) A série é convergente.
b) A série , onde , é convergente.

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