Dado que y1(t)=(1 / 4) sen 2 t é uma solução para y^prime prime+2 y^prime+ 4 y^prime=cos 2 t, use o princípio da superposição para encontrar soluções para:
& (b) y^prime prime+2 y^prime+4 y=2 t-3 cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
y''+2y'+4y=2t-3cos2t
O conteúdo é o princípio da superposição: como a equação é linear, a soma de soluções particulares de cada termo forçante também é solução. Já temos uma solução particular para cos2t: y1(t)=tfrac14sin2t. Vamos achar uma para 2t e depois somar.

Passo 2

Para achar uma solução particular de y''+2y'+4y=2t, suponha um polinômio de grau 1:
yp2(t)=At+B
Então
y'p2(t)=A, y''p2(t)=0
Substituindo na EDO:
0+2A+4(At+B)=2t
Agrupando termos em t e constantes:
4A,t+(2A+4B)=2t+0
Logo:
4A=2implies A=tfrac12, 2A+4B=0implies 1+4B=0implies B=-tfrac14
Portanto
yp2(t)=tfrac12t-tfrac14

Passo 3

Para o termo -3cos2t, usamos superposição: como y1(t)=tfrac14sin2t resolve a EDO com +cos2t, uma solução para -3cos2t é
yp3(t)=-3,y1(t)=-3cdottfrac14sin2t=-tfrac34sin(2t)

Passo 4

Somando as duas soluções particulares achadas, obtemos uma solução particular completa:
yp(t)=yp2(t)+yp3(t)=l(tfrac12t-tfrac14r)-tfrac34sin(2t)

Resposta

yp(t)=tfrac12t-tfrac14-tfrac34sin(2t)

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