Quais das seguintes séries sum an definidas recursivamente convergem?
(a) a1=2, an+1=1+sen nn an

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série de termos positivos Σaₙ com a₁=2 e a recorrência
an+1=1+sin nn,an
O conteúdo principal é teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an=1+sin nn

Passo 3

Note que 1+\sin n é sempre limitado entre 0 e 2. Então
0<=1+sin nn<=2n,
e, quando n→∞, temos 2/n→0. Logo
L=limsupn→∞an+1an=0

Passo 4

Pelo teste da razão, se L<1 então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, portanto a série Σaₙ converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão, já que limsup (an+1/an)=0<1.

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