Quais das seguintes séries
definidas recursivamente convergem?
(a)
(a)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a série de termos positivos Σaₙ com a₁=2 e a recorrência
O conteúdo principal é teste da razão para séries de termos positivos.
Passo 2
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
Passo 3
Note que 1+\sin n é sempre limitado entre 0 e 2. Então
e, quando n→∞, temos
. Logo
Passo 4
Pelo teste da razão, se L<1 então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, portanto a série Σaₙ converge.
Resposta
A série converge pelo teste da razão, já que
.