Dado que
é uma solução conhecida da equação de segunda ordem
Encontre a solução que satisfaz
e
.
Passo 1
Estamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea em x, cujo enunciado dá a equação
e já sabemos uma solução particular
. Nosso objetivo é usar redução de ordem para achar a segunda solução e depois impor as condições iniciais
e
.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
Dividindo por
obtemos
Logo
Passo 3
Para a redução de ordem usamos a fórmula
Calculamos primeiro
então
Como
, temos
Integrando
logo
Escolhemos
como segunda solução linearmente independente.
Passo 4
A solução geral é
Derivando,
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais em
(note que
):
-
dá
ou
2) dá
2)
Resolvendo o sistema
temos
e
. A solução particular fica
Passo 6
final_answer_y:
Passo 7
Resposta
y(x) = -3(x-1)^{3} - \frac{1}{x-1}