Dado que y1(x)=(x-1)^3 é uma solução conhecida da equação de segunda ordem
(x-1)^2 y^prime prime-(x-1) y^prime-3 y=0:
Encontre a solução que satisfaz y(0)=4 e y^prime(0)=-8.

Passo 1

Estamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea em x, cujo enunciado dá a equação
(x-1)^2y''-(x-1)y'-3y=0
e já sabemos uma solução particular y1(x)=(x-1)^3. Nosso objetivo é usar redução de ordem para achar a segunda solução e depois impor as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=-8.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
Dividindo por (x-1)^2 obtemos
y'' - 1x-1y' - 3(x-1)^2y = 0
Logo
p(x) = -1x-1,
q(x) = -3(x-1)^2

Passo 3

Para a redução de ordem usamos a fórmula
y2(x)=y1(x)integral e^-integral p(x),dx[y1(x)]^2,dx
Calculamos primeiro
-integral p(x),dx = -integral l(-1x-1r),dx = integral 1x-1,dx = ln|x-1|,
então
e^-integral p(x)dx = e^ln|x-1| = |x-1|
Como y1(x)=(x-1)^3, temos
e^-integral p,dxy1^2 = (x-1)(x-1)^6 = (x-1)^-5
Integrando
integral (x-1)^-5,dx = -tfrac14(x-1)^-4 + C,
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y2(x)= (x-1)^3l(-tfrac14(x-1)^-4r) propto (x-1)^-1
Escolhemos y2(x)=1x-1 como segunda solução linearmente independente.

Passo 4

A solução geral é
y(x) = C1(x-1)^3 + C21x-1
Derivando,
y'(x) = 3C1(x-1)^2 - C2(x-1)^-2

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em x=0 (note que x-1=-1):
  1. y(0)=4
C1(-1)^3 + C2(-1)^-1 = -C1 - C2 = 4
ou C1+C2=-4
2) y'(0)=-8
3C1(1) - C2(1) = 3C1-C2 = -8
Resolvendo o sistema
C1+C2=-4, 3C1-C2=-8,
temos C1=-3 e C2=-1. A solução particular fica

Passo 6

final_answer_y:

Passo 7

y(x) = -3(x-1)^3 - 1x-1

Resposta

y(x) = -3(x-1)^{3} - \frac{1}{x-1}

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