Calcule
Apresente cada etapa da resolução.
Apresente cada etapa da resolução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem frações algébricas, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, a gente vai precisar entender de divisão de polinômios e de como integrar funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau do numerador
é 2 e o do denominador
também é 2. Quando os graus são iguais, a gente pode começar fazendo uma divisão polinomial para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Como os graus são iguais, o quociente será um número constante. Dividindo
por
, temos 1. Então:
Simplificando o que está no numerador da fração restante:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
A primeira integral é fácil:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda integral:
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
e
. Substituindo na integral:
Então, a integral vira:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Juntando as duas partes:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 9
Agora, vamos voltar para a variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral é igual a: