Calcule integral x^2+5 x+4x^2-2 x+1 d x
Apresente cada etapa da resolução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral integral x^2 + 5x + 4x^2 - 2x + 1 , dx. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem frações algébricas, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, a gente vai precisar entender de divisão de polinômios e de como integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau do numerador x^2 + 5x + 4 é 2 e o do denominador x^2 - 2x + 1 também é 2. Quando os graus são iguais, a gente pode começar fazendo uma divisão polinomial para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos dividir o numerador pelo denominador:
x^2 + 5x + 4x^2 - 2x + 1
Como os graus são iguais, o quociente será um número constante. Dividindo x^2 por x^2, temos 1. Então:
x^2 + 5x + 4x^2 - 2x + 1 = 1 + (x^2 + 5x + 4) - (x^2 - 2x + 1)x^2 - 2x + 1
Simplificando o que está no numerador da fração restante:
(x^2 + 5x + 4) - (x^2 - 2x + 1) = 7x + 3
Então, a fração fica:
1 + 7x + 3x^2 - 2x + 1

Passo 4

Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
integral (1 + 7x + 3x^2 - 2x + 1) dx = integral 1 , dx + integral 7x + 3x^2 - 2x + 1 , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

A primeira integral é fácil:
integral 1 , dx = x + C1
Onde C1 é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda integral:
integral 7x + 3x^2 - 2x + 1 , dx
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Então, a integral fica:
integral 7x + 3(x - 1)^2 , dx

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = x - 1, então du = dx e x = u + 1. Substituindo na integral:
7x + 3 = 7(u + 1) + 3 = 7u + 7 + 3 = 7u + 10
Então, a integral vira:
integral 7u + 10u^2 , du = integral ( 7uu^2 + 10u^2 ) du = integral ( 7u + 10u^-2 ) du

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 7u , du = 7 ln |u| + C2
integral 10u^-2 , du = 10 cdot ( -u^-1 ) + C3 = -10u + C3
Juntando as duas partes:
7 ln |u| - 10u + C
Onde C é uma constante de integração.

Passo 9

Agora, vamos voltar para a variável original x, lembrando que u = x - 1:
7 ln |x - 1| - 10x - 1 + C

Resposta

A integral é igual a:
x + 7 ln |x - 1| - 10x - 1 + C

Exercícios relacionados