Nos seguintes exercícios, dada a solução y1(x) da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+(x^2+2) y=0, y1(x)=x sin x

Passo 1

O enunciado pede para achar um conjunto fundamental de soluções da EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis
x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0
sabendo que uma solução é y1(x)=xsin x. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem e vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro transformamos para a forma padrão dividindo tudo por x^2. Isso nos dá em bloco:
y''-2xy'+l(1+2x^2r)y=0
Assim identificamos P(x)=-2/x.

Passo 3

Para aplicar redução de ordem, lembramos que, se y''+P(x)y'+Q(x)y=0 e conhecemos y1, então a segunda solução é dada por
y2=y1integralexpl(-integral P(x),dxr)y1^2,dx
Vamos calcular cada parte.

Passo 4

Calculamos o fator exp(-integral P(x),dx). Como P(x)=-2/x, temos:
-integral P(x),dx= -integrall(-2/xr)dx=2ln x
e então
exp(2ln x)=x^2
Substituindo em y2:
y2=y1integralx^2(y1)^2,dx=y1integralx^2x^2sin^2 x,dx=y1integralcsc^2 x,dx

Passo 5

O integral integralcsc^2 x,dx é -cot x+C. Podemos descartar a constante porque gera combinação linear. Logo
integralcsc^2 x,dx=-cot x
e ficamos com
y2=y1(-cot x)=-xsin xcot x=-xcos x

Passo 6

Como qualquer múltiplo escalar de uma solução também serve, escolhemos y2(x)=xcos x. Assim um conjunto fundamental de soluções é
xsin x,;xcos x.

Resposta

O conjunto fundamental de soluções é xsin x,;xcos x.

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