Nos seguintes exercícios, dada a solução
da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
Passo 1
O enunciado pede para achar um conjunto fundamental de soluções da EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis
sabendo que uma solução é
. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem e vamos usar o método de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro transformamos para a forma padrão dividindo tudo por
. Isso nos dá em bloco:
Assim identificamos
.
Passo 3
Para aplicar redução de ordem, lembramos que, se
e conhecemos
, então a segunda solução é dada por
Vamos calcular cada parte.
Passo 4
Calculamos o fator
. Como
, temos:
e então
Substituindo em
:
Passo 5
O integral
é
. Podemos descartar a constante porque gera combinação linear. Logo
e ficamos com
Passo 6
Como qualquer múltiplo escalar de uma solução também serve, escolhemos
. Assim um conjunto fundamental de soluções é
.
Resposta
O conjunto fundamental de soluções é
.