Nos seguintes exercícios, dada a solução y1(x) da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
x y^prime prime+(2-2 x) y^prime+(x-2) y=0, y1(x)=e^x

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem: x y''+(2-2x)y'+(x-2)y=0. Já sabemos uma solução y1(x)=e^x. Para encontrar outra solução linearmente independente, vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo tudo por x (assumindo xneq0):
y''+l(2-2xxr)y'+x-2xy=0
Logo, p(x)=2-2xx=2x-2.

Passo 3

Pelo método de redução de ordem, buscamos y2(x)=y1(x)integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx. Calculamos primeiro
integral p(x),dx=integrall(2x-2r)dx=2ln|x|-2x
Então
e^-integral p(x)dx=e^-2ln|x|+2x=x^-2e^2x

Passo 4

O integrando fica
e^-integral p(x)dxy1(x)^2=x^-2e^2xe^2x=x^-2
Integramos:
integral x^-2dx=-x^-1+C
Assim
y2(x)=e^xcdot(-x^-1)=-e^xx

Passo 5

Podemos multiplicar por -1 sem perder independência, então uma segunda solução conveniente é y2(x)=e^xx. O conjunto fundamental de soluções é e^x,,e^x/x.

Resposta

Uma base de soluções é e^x,,e^x/x.

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