Dado que y1(x)=(x-1)^3 é uma solução conhecida da equação de segunda ordem
(x-1)^2 y^prime prime-(x-1) y^prime-3 y=0:
Use redução de ordem para achar a solução geral desta equação.

Passo 1

O enunciado dá a EDO homogênea de segunda ordem
(x-1)^2y''-(x-1)y'-3y=0
e informa que uma solução é y1(x)=(x-1)^3. O conteúdo é redução de ordem: queremos achar uma segunda solução y2(x) usando a fórmula apropriada para EDOs no formato y''+P(x)y'+Q(x)y=0.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato padrão dividindo por (x-1)^2:
y''-1x-1,y'-3(x-1)^2,y=0
Dessa forma identificamos
P(x)=-1x-1 e Q(x)=-3(x-1)^2.

Passo 3

O passo seguinte é calcular o fator
expl(-integral P(x),dxr)=expl(-integral -tfrac1x-1,dxr)=expl(ln|x-1|r)=x-1

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de redução de ordem
y2=y1integralexpl(-integral Pr)y1^2,dx =(x-1)^3integralx-1(x-1)^6,dx =(x-1)^3integral(x-1)^-5,dx
E
integral(x-1)^-5,dx=-tfrac14(x-1)^-4
Logo
y2(x)=(x-1)^-1
e desprezamos o fator constante para obter a solução independente .

Passo 5

Com as duas soluções independentes y1(x)=(x-1)^3 e y2(x)=(x-1)^-1, a solução geral da EDO é combinação linear delas.

Resposta

y=C_{1}(x-1){3}+C_{2}(x-1){-1}

Exercícios relacionados