Seja R a região delimitada pelos gráficos das funções y=x^2+x+1 e y=-2 x^2+x+4
Calcule a área de R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região $ R $ que está delimitada pelos gráficos das funções $ y = x^{2} + x + 1 $ e $ y = -2x^{2} + x + 4 $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente a integração entre os pontos onde essas duas curvas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções. Isso significa resolver a equação $ x^{2} + x + 1 = -2x^{2} + x + 4 $.

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
x^2 + x + 1 = -2x^2 + x + 4
Subtraindo $ -2x^{2} + x + 4 $ de ambos os lados:
-2x^2 + x + 4
Simplificando:
x^2 + x + 1 + 2x^2 - x - 4 = 0
Dividindo ambos os lados por 3:
3x^2 - 3 = 0
Então:
x^2 - 1 = 0
Portanto, os pontos de interseção estão em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 0 $.
Calculando as funções em $ x = 0 $:
x = -1
x = 1
Como $ y_2 = 4 $ é maior que $ y_1 = 1 $, a função $ y = -2x^{2} + x + 4 $ está acima da $ y = x^{2} + x + 1 $ nesse intervalo.

Passo 5

A área entre as duas curvas pode ser calculada integrando a diferença entre a função de cima e a função de baixo, de $ x = -1 $ a $ x = 1 $:
x = -1 Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
x = 1
Então:
Área = integral-1^1 [ (-2x^2 + x + 4) - (x^2 + x + 1) ] dx Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral (-3x^2 + 3) dx = -x^3 + 3x + C
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ x = -1 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 1 $:
x = -1
Para $ x = -1 $:
x = 1
Subtraindo:
x = 1

Resposta

A área da região $ R $ é igual a $ 4 $ unidades quadradas.

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