Seja
a região delimitada pelos gráficos das funções
e
Calcule a área de R.
Calcule a área de R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região $ R $ que está delimitada pelos gráficos das funções $ y = x^{2} + x + 1 $ e $ y = -2x^{2} + x + 4 $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente a integração entre os pontos onde essas duas curvas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções. Isso significa resolver a equação $ x^{2} + x + 1 = -2x^{2} + x + 4 $.
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Subtraindo $ -2x^{2} + x + 4 $ de ambos os lados:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 3:
Então:
Portanto, os pontos de interseção estão em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 0 $.
Calculando as funções em $ x = 0 $:
Como $ y_2 = 4 $ é maior que $ y_1 = 1 $, a função $ y = -2x^{2} + x + 4 $ está acima da $ y = x^{2} + x + 1 $ nesse intervalo.
Passo 5
A área entre as duas curvas pode ser calculada integrando a diferença entre a função de cima e a função de baixo, de $ x = -1 $ a $ x = 1 $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ x = -1 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -1 $:
Subtraindo:
Resposta
A área da região $ R $ é igual a $ 4 $ unidades quadradas.