Dado que
é uma solução conhecida da equação de segunda ordem
Qual o maior intervalo na qual a solução existe?
Passo 1
O enunciado dá a equação de segunda ordem linear $
e informa que já conhecemos uma solução particular $y_1(x)=(x-1)^3$. O conteúdo aqui é estudar o intervalo de existência de soluções de uma EDO linear, sabendo que pontos em que o coeficiente de $y’’$ zera podem ser singulares.
Passo 2
Para ver onde a equação é regular, primeiro colocamos na forma padrão $
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
$. Dividindo por $(x-1)^2$, obtemos:Aqui $
P(x)=-\frac{1}{x-1}
$ e $Q(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}
$. Para aplicarmos o teorema de existência e unicidade, precisamos que $P
e Q
$ sejam contínuas.Passo 3
Os únicos pontos em que $
P
e Q
$ deixam de ser contínuas são quando $x-1=0
$, ou seja, $x=1$. Logo, em qualquer intervalo aberto que não contenha $x=1$, P e Q são analíticas e as soluções existem e são únicas.Passo 4
Portanto, os maiores intervalos de validade da solução (que não cruzam o ponto singular
) são
Resposta
Os maiores intervalos de existência da solução são (-∞,1) e (1,∞).