Dado que y1(x)=(x-1)^3 é uma solução conhecida da equação de segunda ordem
(x-1)^2 y^prime prime-(x-1) y^prime-3 y=0:
Qual o maior intervalo na qual a solução existe?

Passo 1

O enunciado dá a equação de segunda ordem linear $ (x-1)^2y''-(x-1)y'-3y=0 e informa que já conhecemos uma solução particular $y_1(x)=(x-1)^3$. O conteúdo aqui é estudar o intervalo de existência de soluções de uma EDO linear, sabendo que pontos em que o coeficiente de $y’’$ zera podem ser singulares.

Passo 2

Para ver onde a equação é regular, primeiro colocamos na forma padrão $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$. Dividindo por $(x-1)^2$, obtemos:
`y''+P(x)y'+Q(x)y=0`
Aqui $P(x)=-\frac{1}{x-1}$ e $Q(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}$. Para aplicarmos o teorema de existência e unicidade, precisamos que $P e Q$ sejam contínuas.

Passo 3

Os únicos pontos em que $P e Q$ deixam de ser contínuas são quando $x-1=0$, ou seja, $x=1$. Logo, em qualquer intervalo aberto que não contenha $x=1$, P e Q são analíticas e as soluções existem e são únicas.

Passo 4

Portanto, os maiores intervalos de validade da solução (que não cruzam o ponto singular x=1) são
(-infty,1)e(1,infty)

Resposta

Os maiores intervalos de existência da solução são (-∞,1) e (1,∞).

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