Dado que z_{1}=-1+\mathrm{j} 2 e z_{2}=2 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{5 \pi}{6}}, obtenha
z_{\mathrm{b}}=z_{1} z_{2}^{*}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular z_{\mathrm{b}} = z_{1} z_{2}^{*}.\n
Dados fornecidos:
z_{1} = -1 + \mathrm{j}2
z_{2} = 2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{5\pi}{6}}

Passo 2

Entendendo o conjugado: o conjugado de um número complexo muda o sinal da parte imaginária. Em notação polar isso equivale a inverter o sinal do ângulo. Assim,
z_{2}^{*} = 2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{5\pi}{6}}.
Para multiplicar com z_{1} é mais prático escrever z_{2}^{*} em forma retangular. Primeiro escrevemos z_{2} em forma retangular e depois aplicamos o conjugado:
z_{2} = 2\big(\cos\!\tfrac{5\pi}{6} + \mathrm{j}\sin\!\tfrac{5\pi}{6}\big).

Passo 3

Calcule os cosseno e seno conhecidos para \tfrac{5\pi}{6}:
\cos\!\tfrac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\tfrac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}.
Substituindo em z_{2}:
z_{2} = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \mathrm{j}\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + \mathrm{j}.
Agora o conjugado:
z_{2}^{*} = -\sqrt{3} - \mathrm{j}.

Passo 4

Multiplicação em forma retangular: se z_{1}=a+\mathrm{j}b e z_{2}^{*}=c+\mathrm{j}d, então
(a+\mathrm{j}b)(c+\mathrm{j}d) = (ac-bd) + \mathrm{j}(ad+bc).
Aqui temos a=-1, b=2, c=-\sqrt{3}, d=-1. Calculemos as partes real e imaginária separadamente:
\text{parte real }= ac - bd = (-1)(-\sqrt{3}) - (2)(-1) = \sqrt{3} + 2,
\text{parte imaginária }= ad + bc = (-1)(-1) + (2)(-\sqrt{3}) = 1 - 2\sqrt{3}.á

Passo 5

(verificação rápida numérica para nos dar confiança): \sqrt{3}\approx1{,}732, então a parte real fica aproximadamente 2 + 1{,}732 = 3{,}732 e a parte imaginária fica 1 - 2\cdot1{,}732 \approx 1 - 3{,}464 = -2{,}464. Esses números batem com o sinal e ordem de grandeza esperados.

Resposta

z_{\mathrm{b}} = 2 + \sqrt{3} + \mathrm{j}\bigl(1 - 2\sqrt{3}\bigr)

Exercícios relacionados