Seja x_{0} um ponto singular regular para y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0 e sejam r_{1} e r_{2} as raízes da equação indicial associada, onde \operatorname{Re} r_{1} \geq \operatorname{Re} r_{2}.
A forma de uma solução é
y_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r_{1}}, \quad a_{0} \neq 0,
Em relação à segunda solução linearmente independente, pode se afirmar que:
é da forma
y_{2}(x)=C y_{1}(x) \ln \left(x-x_{0}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r_{2}}, \quad b_{0} \neq 0,
se \boldsymbol{r}_{\mathbf{1}}-\boldsymbol{r}_{\mathbf{2}} é um inteiro positivo.
é da forma
y_{2}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r_{2}}, \quad b_{0} \neq 0,
se \boldsymbol{r}_{\mathbf{1}}-\boldsymbol{r}_{\mathbf{2}} não é um inteiro.
é da forma
y_{2}(x)=y_{1}(x) \ln \left(x-x_{0}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r_{1}}
se \boldsymbol{r}_{\mathbf{1}}-\boldsymbol{r}_{\mathbf{2}} é igual a zero.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar três afirmações sobre a segunda solução linearmente independente de uma equação diferencial linear de segunda ordem no ponto x_{0}:
  • Há um ponto singular regular x_{0} para a equação
y''+p(x)y'+q(x)y=0.
  • As raízes da equação indicial associada são \,r_{1} e \,r_{2}, com \operatorname{Re} r_{1}\ge \operatorname{Re} r_{2}.
  • Sabe-se que existe uma solução da forma
y_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{1}},\qquad a_{0}\neq 0.
O que se pede: analisar as três afirmações abaixo e decidir se são corretas:
  1. A segunda solução é da forma
y_{2}(x)=C\,y_{1}(x)\ln\bigl(x-x_{0}\bigr)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{2}},\quad b_{0}\neq 0,
quando \,r_{1}-r_{2} é um inteiro positivo.
  1. A segunda solução é da forma
y_{2}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{2}},\quad b_{0}\neq 0,
quando \,r_{1}-r_{2} não é um inteiro.
  1. A segunda solução é da forma
y_{2}(x)=y_{1}(x)\ln\bigl(x-x_{0}\bigr)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{1}}
quando \,r_{1}-r_{2}=0.

Passo 2

Breve explicação didática do método de Frobenius (o que é usado aqui):
  • Para um ponto singular regular x_{0} tentamos soluções do tipo Frobenius
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r},\qquad c_{0}\neq 0,
onde r é um expoente a determinar. Esse r aparece quando substituímos essa série na equação e coletamos os menores poderes de (x-x_{0}): exige-se que o coeficiente do menor expoente zere — isso gera a equação indicial (um polinômio em r).
  • As raízes r_{1},r_{2} da equação indicial determinam os possíveis expoentes das soluções de Frobenius. Em geral, de cada raiz distinta obtemos uma solução em série com esse expoente, desde que a recursão para os coeficientes não quebre.
  • O comportamento da segunda solução depende da diferença \,r_{1}-r_{2}. O enunciado pede exatamente essa situação. A teoria clássica (teorema de Frobenius, versão usual) dá três cenários principais, que vou explicar com cuidado a seguir.

Passo 3

Resultados clássicos (forma e explicação intuitiva):
  • Caso A — Diferença não inteira: se \,r_{1}-r_{2}\not\in\mathbb{Z} (ou seja, não é inteiro), então as duas raízes geram duas soluções de Frobenius independentes:
y_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{1}},\qquad y_{2}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{2}},\quad b_{0}\neq 0.
Explicação: a recursão para os coeficientes a partir das duas raízes é bem comportada e não ocorre o problema de divisor nulo; portanto obtemos duas séries sem log. Conclusão: a afirmação (2) é a forma padrão e está correta.
  • Caso B — Diferença inteiro positivo: suponha \,r_{1}-r_{2}=N\in\mathbb{Z}_{>0}.
    • Sempre existe uma solução correspondente à maior raiz r_{1} (a forma de y_{1} já dada).
    • Para a segunda solução pode acontecer de duas maneiras: (i) ainda é possível obter uma solução de Frobenius com expoente r_{2} (ou seja, uma série pura), ou (ii) a recursão para os coeficientes falha em algum passo (aparece divisão por zero na recursão), e então a segunda solução tem um termo logarítmico do tipo
    y_{2}(x)=C\,y_{1}(x)\ln\bigl(x-x_{0}\bigr)+\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{2}},
    com b_{0}\neq 0 e algum C\neq 0 (quando o log aparece). Em palavras: o termo com \ln pode surgir, mas não é obrigatório — depende dos coeficientes p(x),q(x) e de como a recursão se desenvolve. Portanto a afirmação (1) que diz categoricamente que a segunda solução é da forma com log quando a diferença é inteiro positivo é imprecisa se lida como “sempre”; a forma com log é possível (frequente), mas não garantida em todos os casos.
  • Caso C — Raízes iguais ( r_{1}-r_{2}=0): aqui temos raiz dupla. A teoria garante que uma solução é a série correspondente a r_{1}=r_{2} e a segunda solução (linearmente independente) tem obrigatoriamente um termo logarítmico multiplicando y_{1}; mais precisamente existe uma solução do tipo
y_{2}(x)=y_{1}(x)\ln\bigl(x-x_{0}\bigr)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n+r_{1}}.
Neste caso o \ln ocorre de forma garantida (não é apenas possibilidade): a repetição da raiz dá origem ao log. Assim a afirmação (3) está correta.

Passo 4

Exemplo que ilustra o caso em que a diferença é um inteiro positivo mas não aparece log (contraexemplo que torna (1) falsa no sentido “sempre”):
  • Considere a equação de Euler-Cauchy (um exemplo clássico onde a forma das soluções é explícita)
x^{2}y''+p x y'+q y=0,
para a qual se tenta y=x^{r}. A equação indicial é
r(r-1)+p r+q=0,
cuja solução dá os expoentes r.
  • Escolha os coeficientes de modo que as raízes sejam r_{1}=2 e r_{2}=1. Isso é obtido fazendo o polinômio indicial ser (r-2)(r-1)=r^{2}-3r+2. Comparando com r^{2}+(p-1)r+q obtemos p=-2 e q=2. A equação é
x^{2}y''-2x y'+2y=0.
Para equações de Euler, se as raízes da indicial forem distintas, as soluções são simplesmente y=x^{r_{1}} e y=x^{r_{2}}, sem log. Assim aqui as soluções são y_{1}=x^{2} e y_{2}=x. Não há termo \ln. Logo mesmo com \,r_{1}-r_{2}=1 não aparece \ln — portanto a afirmação (1) é demasiadamente absoluta e deve ser entendida com a ressalva “pode ter \ln, mas nem sempre”.

Passo 5

Exemplo do caso de raiz dupla (mostrando que o log aparece obrigatoriamente):
  • Tome novamente uma equação de Euler cuja indicial tenha raiz dupla r=1, isto é (r-1)^{2}=0. Isso corresponde a r^{2}+(p-1)r+q=r^{2}-2r+1, logo p=-1 e q=1. A equação é
x^{2}y''-x y'+y=0.
Aqui a primeira solução é y_{1}=x^{1}=x. A segunda solução, obtida por redução de ordem ou pelo método de Frobenius para raiz dupla, é
y_{2}=x\ln x,
ou, centralizando em x_{0}, y_{2}=(x-x_{0})^{r}\ln(x-x_{0})+ série. Isso confirma que, para raiz dupla, o termo \ln surge obrigatoriamente — apoiando que (3) está correta.

Passo 6

Resumo e conclusão final, com a resposta objetiva:
  • A afirmação (2) é correta: se \,r_{1}-r_{2} não é inteiro, então existe uma segunda solução da forma em série com expoente r_{2}.
  • A afirmação (3) é correta: se \,r_{1}-r_{2}=0 (raiz dupla), a segunda solução tem necessariamente a forma y_{1}\ln(x-x_{0})+ série.
  • A afirmação (1) é imprecisa/falsa se interpretada como absoluta. Quando \,r_{1}-r_{2} é um inteiro positivo, a segunda solução pode ter um termo logarítmico do tipo C\,y_{1}\ln(x-x_{0}) mais uma série em r_{2}, mas isso não ocorre em todos os casos — às vezes a recursão permite uma solução pura em série sem \ln (como no exemplo de Euler mostrado). Portanto (1) não pode ser afirmada sem a ressalva “pode ser” ou “pode aparecer \ln”.

Resposta

  1. Falsa.
  2. Verdadeira.
  3. Verdadeira.

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