Seja
um ponto singular regular para
e sejam
e
as raízes da equação indicial associada, onde
.
A forma de uma solução é
,
Em relação à segunda solução linearmente independente, pode se afirmar que:
é da forma
,
se
é um inteiro positivo.
é da forma
,
se
não é um inteiro.
é da forma
se
é igual a zero.
A forma de uma solução é
Em relação à segunda solução linearmente independente, pode se afirmar que:
é da forma
se
é da forma
se
é da forma
se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar três afirmações sobre a segunda solução linearmente independente de uma equação diferencial linear de segunda ordem no ponto
:
- Há um ponto singular regular
para a equação
- As raízes da equação indicial associada são
e , com . - Sabe-se que existe uma solução da forma
O que se pede: analisar as três afirmações abaixo e decidir se são corretas:
- A segunda solução é da forma
quando
é um inteiro positivo.
- A segunda solução é da forma
quando
não é um inteiro.
- A segunda solução é da forma
quando
.
Passo 2
Breve explicação didática do método de Frobenius (o que é usado aqui):
- Para um ponto singular regular
tentamos soluções do tipo Frobenius
onde
é um expoente a determinar. Esse
aparece quando substituímos essa série na equação e coletamos os menores poderes de
: exige-se que o coeficiente do menor expoente zere — isso gera a equação indicial (um polinômio em
).
-
As raízes
da equação indicial determinam os possíveis expoentes das soluções de Frobenius. Em geral, de cada raiz distinta obtemos uma solução em série com esse expoente, desde que a recursão para os coeficientes não quebre. -
O comportamento da segunda solução depende da diferença
. O enunciado pede exatamente essa situação. A teoria clássica (teorema de Frobenius, versão usual) dá três cenários principais, que vou explicar com cuidado a seguir.
Passo 3
Resultados clássicos (forma e explicação intuitiva):
- Caso A — Diferença não inteira: se
(ou seja, não é inteiro), então as duas raízes geram duas soluções de Frobenius independentes:
Explicação: a recursão para os coeficientes a partir das duas raízes é bem comportada e não ocorre o problema de divisor nulo; portanto obtemos duas séries sem log. Conclusão: a afirmação (2) é a forma padrão e está correta.
-
Caso B — Diferença inteiro positivo: suponha
. - Sempre existe uma solução correspondente à maior raiz
(a forma de já dada). - Para a segunda solução pode acontecer de duas maneiras: (i) ainda é possível obter uma solução de Frobenius com expoente
(ou seja, uma série pura), ou (ii) a recursão para os coeficientes falha em algum passo (aparece divisão por zero na recursão), e então a segunda solução tem um termo logarítmico do tipo
come algum (quando o log aparece). Em palavras: o termo com pode surgir, mas não é obrigatório — depende dos coeficientes e de como a recursão se desenvolve. Portanto a afirmação (1) que diz categoricamente que a segunda solução é da forma com log quando a diferença é inteiro positivo é imprecisa se lida como “sempre”; a forma com log é possível (frequente), mas não garantida em todos os casos. - Sempre existe uma solução correspondente à maior raiz
-
Caso C — Raízes iguais (
): aqui temos raiz dupla. A teoria garante que uma solução é a série correspondente a e a segunda solução (linearmente independente) tem obrigatoriamente um termo logarítmico multiplicando ; mais precisamente existe uma solução do tipo
Neste caso o
ocorre de forma garantida (não é apenas possibilidade): a repetição da raiz dá origem ao log. Assim a afirmação (3) está correta.
Passo 4
Exemplo que ilustra o caso em que a diferença é um inteiro positivo mas não aparece log (contraexemplo que torna (1) falsa no sentido “sempre”):
- Considere a equação de Euler-Cauchy (um exemplo clássico onde a forma das soluções é explícita)
para a qual se tenta
. A equação indicial é
cuja solução dá os expoentes
.
- Escolha os coeficientes de modo que as raízes sejam
e . Isso é obtido fazendo o polinômio indicial ser . Comparando com obtemos e . A equação é
Para equações de Euler, se as raízes da indicial forem distintas, as soluções são simplesmente
e
, sem log. Assim aqui as soluções são
e
. Não há termo
. Logo mesmo com
não aparece
— portanto a afirmação (1) é demasiadamente absoluta e deve ser entendida com a ressalva “pode ter
, mas nem sempre”.
Passo 5
Exemplo do caso de raiz dupla (mostrando que o log aparece obrigatoriamente):
- Tome novamente uma equação de Euler cuja indicial tenha raiz dupla
, isto é . Isso corresponde a , logo e . A equação é
Aqui a primeira solução é
. A segunda solução, obtida por redução de ordem ou pelo método de Frobenius para raiz dupla, é
ou, centralizando em
,
série. Isso confirma que, para raiz dupla, o termo
surge obrigatoriamente — apoiando que (3) está correta.
Passo 6
Resumo e conclusão final, com a resposta objetiva:
-
A afirmação (2) é correta: se
não é inteiro, então existe uma segunda solução da forma em série com expoente . -
A afirmação (3) é correta: se
(raiz dupla), a segunda solução tem necessariamente a forma série. -
A afirmação (1) é imprecisa/falsa se interpretada como absoluta. Quando
é um inteiro positivo, a segunda solução pode ter um termo logarítmico do tipo mais uma série em , mas isso não ocorre em todos os casos — às vezes a recursão permite uma solução pura em série sem (como no exemplo de Euler mostrado). Portanto (1) não pode ser afirmada sem a ressalva “pode ser” ou “pode aparecer ”.
Resposta
- Falsa.
- Verdadeira.
- Verdadeira.