Mostre que
f(x)=\frac{(1+\mathrm{j} 3)}{2} \mathrm{e}^{(1-\mathrm{j} 2) x}+\frac{(1-\mathrm{j} 3)}{2} \mathrm{e}^{(1+\mathrm{j} 2) x}
pode ser reescrita como
f(x)=\mathrm{e}^{x}[\cos (2 x)+3 \operatorname{sen}(2 x)]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{(1+\mathrm{j} 3)}{2} \mathrm{e}^{(1-\mathrm{j} 2) x}+\frac{(1-\mathrm{j} 3)}{2} \mathrm{e}^{(1+\mathrm{j} 2) x}
e pede para mostrar que ela pode ser reescrita como
f(x)=\mathrm{e}^{x}[\cos (2 x)+3 \operatorname{sen}(2 x)].
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{(i)}\quad \text{os dois coeficientes } \frac{1+\mathrm{j}3}{2} \text{ e } \frac{1-\mathrm{j}3}{2} \text{ são complexos conjugados;}ã
\text{(ii)}\quad \text{as potências } \mathrm{e}^{(1-\mathrm{j}2)x} \text{ e } \mathrm{e}^{(1+\mathrm{j}2)x} \text{ também são complexas conjugadas.}êéã
A tarefa é transformar algebricamente a soma dada em uma expressão real na forma solicitada.

Passo 2

Primeiro lançamento de ideia (ferramentas que vamos usar) — propriedade de exponenciais: para quaisquer números complexos a e b vale
\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}.
Aqui vamos separar a parte real e a parte imaginária do expoente, por exemplo
\mathrm{e}^{(1\pm \mathrm{j}2)x}=\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{\pm \mathrm{j}2x}.
Isto é útil porque \mathrm{e}^{x} é real e podemos tratar \mathrm{e}^{\pm \mathrm{j}2x} com a fórmula de Euler.

Passo 3

Lembrete da fórmula de Euler (a ferramenta central aqui): para qualquer ângulo real \theta,
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}=\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta,
e, portanto,
\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\theta}=\cos\theta-\mathrm{j}\sin\theta.
Também usamos que \mathrm{j}^{2}=-1. Essas igualdades nos permitem converter exponenciais complexas em combinações de cosseno e seno.

Passo 4

Reescrevemos cada termo separando \mathrm{e}^{x}:
\frac{(1+\mathrm{j}3)}{2}\mathrm{e}^{(1-\mathrm{j}2)x}=\frac{(1+\mathrm{j}3)}{2}\,\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2x} =\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}(1+\mathrm{j}3)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2x}.
Aplicando Euler em \mathrm{e}^{-\mathrm{j}2x} obtemos
\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2x}=\cos(2x)-\mathrm{j}\sin(2x).

Passo 5

Multiplicamos (1+\mathrm{j}3) por \cos(2x)-\mathrm{j}\sin(2x). Faço a expansão passo a passo:
(1+\mathrm{j}3)(\cos2x-\mathrm{j}\sin2x) =1\cdot(\cos2x-\mathrm{j}\sin2x)+\mathrm{j}3\cdot(\cos2x-\mathrm{j}\sin2x).
Agora distribuo:
= \cos2x-\mathrm{j}\sin2x + \mathrm{j}3\cos2x - \mathrm{j}^2 3\sin2x.
Usando \mathrm{j}^2=-1 isso vira
= \cos2x -\mathrm{j}\sin2x + \mathrm{j}3\cos2x + 3\sin2x.
Agrupando parte real e parte imaginária:
(1+\mathrm{j}3)(\cos2x-\mathrm{j}\sin2x) = \big(\cos2x + 3\sin2x\big) + \mathrm{j}\big(-\sin2x + 3\cos2x\big).

Passo 6

Volto ao primeiro termo já com o fator \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2}:
\frac{(1+\mathrm{j}3)}{2}\mathrm{e}^{(1-\mathrm{j}2)x} = \frac{\mathrm{e}^{x}}{2}\Big[\big(\cos2x + 3\sin2x\big) + \mathrm{j}\big(-\sin2x + 3\cos2x\big)\Big].
Chamo isso de T. Note que o segundo termo do enunciado é o conjugado complexo de T, pois os coeficientes e os expoentes aparecem com conjugação trocada. Logo a soma original é
f(x)=T+\overline{T}=2\operatorname{Re}(T).
Isto porque a soma de um número complexo com seu conjugado é duas vezes a parte real.

Passo 7

Tomando a parte real de T (que já está explícita), obtemos
\operatorname{Re}(T)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}\big(\cos2x + 3\sin2x\big).
Multiplicando por 2 (porque f(x)=2\operatorname{Re}(T)) resulta
f(x)=\mathrm{e}^{x}\big(\cos2x + 3\sin2x\big).
Assim chegamos à forma real pedida. Observação rápida de consistência: em x=0 a expressão dá f(0)=1 dos dois lados, o que confirma um checape simples.

Resposta

f(x)=\mathrm{e}^{x}[\cos (2 x)+3 \operatorname{sen}(2 x)]

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