Mostre que
pode ser reescrita como
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que ela pode ser reescrita como
Informações relevantes dadas no enunciado:
A tarefa é transformar algebricamente a soma dada em uma expressão real na forma solicitada.
Passo 2
Primeiro lançamento de ideia (ferramentas que vamos usar) — propriedade de exponenciais: para quaisquer números complexos
e
vale
Aqui vamos separar a parte real e a parte imaginária do expoente, por exemplo
Isto é útil porque
é real e podemos tratar
com a fórmula de Euler.
Passo 3
Lembrete da fórmula de Euler (a ferramenta central aqui): para qualquer ângulo real
,
e, portanto,
Também usamos que
. Essas igualdades nos permitem converter exponenciais complexas em combinações de cosseno e seno.
Passo 4
Reescrevemos cada termo separando
:
Aplicando Euler em
obtemos
Passo 5
Multiplicamos
por
. Faço a expansão passo a passo:
Agora distribuo:
Usando
isso vira
Agrupando parte real e parte imaginária:
Passo 6
Volto ao primeiro termo já com o fator
:
Chamo isso de
. Note que o segundo termo do enunciado é o conjugado complexo de
, pois os coeficientes e os expoentes aparecem com conjugação trocada. Logo a soma original é
Isto porque a soma de um número complexo com seu conjugado é duas vezes a parte real.
Passo 7
Tomando a parte real de
(que já está explícita), obtemos
Multiplicando por
(porque
) resulta
Assim chegamos à forma real pedida. Observação rápida de consistência: em
a expressão dá
dos dois lados, o que confirma um checape simples.