Use o método de Frobenius para encontrar pelo menos os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série em torno de \boldsymbol{x}=\mathbf{0} para uma solução da seguinte equação diferencial para \boldsymbol{x}>\mathbf{0} x y^{\prime \prime}+y^{\prime}-4 y=0.
Escolha uma opção: \bigcirc a. Resolvi \bigcirc b. Não resolvi
Passo 1
O enunciado pede: encontrar, pelo método de Frobenius, os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série em torno de \,x=0, para uma solução da equação diferencial
x y'' + y' - 4y = 0,\qquad x>0.
Informações dadas e o que devemos devolver:
A equação diferencial linear de segunda ordem é \,x y'' + y' - 4y = 0.
Queremos a expansão em série centrada em \,x=0 (ou seja, uma solução do tipo de Frobenius) e pelo menos os quatro primeiros termos não nulos dessa expansão.
Não há mais condições iniciais; a solução terá uma constante multiplicativa arbitrária (normalmente escrita como a_0 ou C).
Passo 2
Explicando a ideia do método de Frobenius (passo a passo, sem pular etapas):
Em torno de um ponto singular regular (aqui x=0 é ponto singular regular), procuramos soluções da forma de série de Frobenius
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r},
onde \,r é um número (o expoente indicial) e \,a_0\neq0.
Aqui \,r representa o possível crescimento inicial da solução: se r for inteiro não-negativo a solução é uma série de potências comum; se for outro valor pode surgir comportamento singular. Vamos determinar r usando a equação (isso é a equação indicial).
Para aplicar, precisamos das derivadas de y. Calculamos termo a termo:
Para que essa soma seja zero para todos x é necessário que:
Coeficiente do termo mais baixo x^{r-1} se anule: a_0 r^2=0.
Para todo n\ge0 o coeficiente de x^{n+r} se anule:
a_{n+1}(n+1+r)^2-4a_n=0.
Passo 5
Resolver a equação indicial e a recorrência:
Da condição a_0 r^2=0 e como a_0\neq0 segue r^2=0, isto é
r=0,
é raiz dupla do polinômio indicial. Isso significa que existe uma solução analítica (uma série de potências) correspondente a r=0 — vamos encontrá-la. (Observação: a segunda solução geralmente envolve logaritmo porque a raiz é dupla, mas aqui só nos pediram uma solução; a solução principal é a com r=0.)
Com r=0, a relação de recorrência fica, para n\ge0,
a_{n+1}=\frac{4}{(n+1)^2}\,a_n.
Isto nos permite calcular os coeficientes a partir de a_0 (constante arbitrária).
Passo 6
Calcular explicitamente os primeiros coeficientes (mostrando as contas):
Tome a_0 como constante arbitrária (vou chamar de C no final). Então
Esses já fornecem quatro termos não nulos da série (os termos correspondentes a n=0,1,2,3 são não nulos). Se quiser mais, podemos continuar com a mesma regra.
Passo 7
A fórmula fechada para a_n (apresentação e verificação rápida por indução):
Observando a recorrência, percebe-se que
a_n = a_0\frac{4^n}{(n!)^2}\qquad\text{para todo }n\ge0.
Verificação rápida:
Para n=0 dá a_0 — ok.
Se a fórmula vale para n, ao calcular a_{n+1} temos