Verifique se as sequências (an) de termo geral dado abaixo convergem ou divergem. Se convergir, calcule seu limite.
an=ln (n+1)-ln (n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = ln(n+1) - ln(n)
Esse é um problema de limite de sequência real. Vamos usar propriedades de logaritmo e continuidade de funções para achar limntoinftyan.

Passo 2

Usando a propriedade de diferença de logaritmos, escrevemos
an = ln(n+1) - ln(n) = lnl(n+1nr)

Passo 3

Observe que
n+1n = 1 + 1n
Como ntoinfty, temos 1nto 0 e, portanto,
1 + 1n ;longrightarrow; 1

Passo 4

A função ln(x) é contínua em (0,infty), logo
limntoinftylnl(1 + tfrac1nr) = lnl(limntoinfty(1 + tfrac1n)r) = ln(1) = 0

Passo 5

Concluímos que limntoinftyan = 0. Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 0

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