Dado
, determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor da derivada parcial de terceira ordem
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deve-se calcular
, ou seja, uma derivada mista de terceira ordem envolvendo duas diferenciações em e uma em .
Passo 2
O que significa e como vamos interpretar a notação
.
Explicação didática da notação:
- A expressão
indica uma derivada de terceira ordem em que foram tomadas duas derivadas parciais em relação a e uma em relação a . - Para funções suficientemente suaves (como polinômios), as derivadas mistas com ordens diferentes comutam (Teorema de Clairaut). Assim, qualquer ordem de diferenciação que resulte em duas derivações em
e uma em dará o mesmo resultado. Podemos, por exemplo, primeiro calcular e depois derivar em , ou primeiro derivar em e depois duas vezes em . - Vou usar o caminho: calcular
, depois e finalmente . Esse caminho é direto e fácil de seguir.
Passo 3
Introdução ao truque útil: ver
como uma função interna e aplicar a regra da cadeia.
Explicando a regra da cadeia para derivadas parciais:
- Se
com , então a derivada parcial de em relação a é
- Aqui,
e . Então . - Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
,
.
Usando a regra da cadeia com
:
Calcular
(porque
é tratado como constante ao derivar em
). Portanto
Passo 5
Calcular a segunda derivada parcial em relação a
,
.
Derivamos
outra vez em relação a
. Novamente aplicamos a regra da cadeia:
Já sabemos que
. Logo
Passo 6
Explicar por que agora podemos derivar em
e obter a resposta pedida.
Raciocínio:
- A derivada pedida é
, que podemos obter derivando em a expressão :
- Como
é um polinômio em e , não há problema de troca de ordem e o resultado será consistente.
Passo 7
Calcular
.
Partimos de
. Derivando em
aplicamos a regra da cadeia novamente:
Agora
(porque
é constante ao derivar em
). Portanto
Passo 8
Verificação alternativa rápida (opcional, para ganhar confiança): trocar a ordem das derivações.
Primeiro derivar em
:
Derivar isso duas vezes em
:
Mesmo resultado
, como esperado.