Dado z=(2 x-y)^{5}, determine
\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y}

Passo 1

O enunciado dá a função z=(2x-y)^{5} e pede o valor da derivada parcial de terceira ordem \dfrac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é z=(2x-y)^{5}.
  • Deve-se calcular \dfrac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y}, ou seja, uma derivada mista de terceira ordem envolvendo duas diferenciações em x e uma em y.

Passo 2

O que significa e como vamos interpretar a notação \dfrac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y}.
Explicação didática da notação:
  • A expressão \dfrac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y} indica uma derivada de terceira ordem em que foram tomadas duas derivadas parciais em relação a x e uma em relação a y.
  • Para funções suficientemente suaves (como polinômios), as derivadas mistas com ordens diferentes comutam (Teorema de Clairaut). Assim, qualquer ordem de diferenciação que resulte em duas derivações em x e uma em y dará o mesmo resultado. Podemos, por exemplo, primeiro calcular \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} e depois derivar em y, ou primeiro derivar em y e depois duas vezes em x.
  • Vou usar o caminho: calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}, depois \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} e finalmente \dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\big). Esse caminho é direto e fácil de seguir.

Passo 3

Introdução ao truque útil: ver 2x-y como uma função interna e aplicar a regra da cadeia.
Explicando a regra da cadeia para derivadas parciais:
  • Se z = f(u) com u = g(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x é
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Aqui, f(t)=t^{5} e u(x,y)=2x-y. Então f'(t)=5t^{4}.
  • Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x, \dfrac{\partial z}{\partial x}.
Usando a regra da cadeia com u=2x-y:
\frac{\partial z}{\partial x}=5(2x-y)^{4}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x-y).
Calcular \dfrac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2 (porque y é tratado como constante ao derivar em x). Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=5(2x-y)^{4}\cdot 2 = 10(2x-y)^{4}.

Passo 5

Calcular a segunda derivada parcial em relação a x, \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}.
Derivamos \dfrac{\partial z}{\partial x}=10(2x-y)^{4} outra vez em relação a x. Novamente aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(10(2x-y)^{4}\big) =10\cdot 4(2x-y)^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x-y).
Já sabemos que \dfrac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2. Logo
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=10\cdot 4\cdot 2\,(2x-y)^{3}=80(2x-y)^{3}.

Passo 6

Explicar por que agora podemos derivar em y e obter a resposta pedida.
Raciocínio:
  • A derivada pedida é \dfrac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y}, que podemos obter derivando em y a expressão \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}:
\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right).
  • Como z é um polinômio em x e y, não há problema de troca de ordem e o resultado será consistente.

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\big).
Partimos de \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=80(2x-y)^{3}. Derivando em y aplicamos a regra da cadeia novamente:
\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y} =80\cdot 3(2x-y)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y).
Agora \dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1 (porque x é constante ao derivar em y). Portanto
\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2}\partial y}=80\cdot 3\cdot(-1)\,(2x-y)^{2}=-240(2x-y)^{2}.

Passo 8

Verificação alternativa rápida (opcional, para ganhar confiança): trocar a ordem das derivações.
Primeiro derivar em y:
\frac{\partial z}{\partial y}=5(2x-y)^{4}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=5(2x-y)^{4}\cdot(-1)=-5(2x-y)^{4}.
Derivar isso duas vezes em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-5(2x-y)^{4}\big)=-5\cdot 4(2x-y)^{3}\cdot 2=-40(2x-y)^{3},
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\big(-5(2x-y)^{4}\big)=-40\cdot 3(2x-y)^{2}\cdot 2=-240(2x-y)^{2}.
Mesmo resultado -240(2x-y)^{2}, como esperado.

Resposta

-240(2x-y)^{2}

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