Dado
, determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada mista de terceira ordem
Informações relevantes:
- A função dependente é
e as variáveis independentes são e . - Deve-se aplicar três diferenciações parciais na ordem indicada: primeiro por
(o fator mais à direita), depois por (no meio) e por fim por novamente (o fator mais à esquerda).
Passo 2
Convencionalmente, o símbolo
significa aplicar os diferenciais da direita para a esquerda: primeiro
, depois
ao resultado, e por fim
ao que obtiver.
Vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais: se com
, então
Vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais: se
No nosso caso,
e
, logo
.
Também é útil notar que
e
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial, que é a derivação em relação a
(a direita):
Como
, obtemos
Passo 4
Agora derivar em relação a
o resultado do passo anterior:
Como
, segue
Passo 5
Por fim, derivar em relação a
o resultado do passo anterior:
Com
, temos