Dado z=(2 x-y)^{5}, determine
\frac{\partial^{3} z}{\partial y \partial x \partial y}

Passo 1

O enunciado dá a função z=(2x-y)^{5} e pede a derivada mista de terceira ordem
\frac{\partial^{3} z}{\partial y \partial x \partial y}.
Informações relevantes:
  • A função dependente é z e as variáveis independentes são x e y.
  • Deve-se aplicar três diferenciações parciais na ordem indicada: primeiro por y (o fator mais à direita), depois por x (no meio) e por fim por y novamente (o fator mais à esquerda).

Passo 2

Convencionalmente, o símbolo \dfrac{\partial^{3} z}{\partial y \partial x \partial y} significa aplicar os diferenciais da direita para a esquerda: primeiro \dfrac{\partial}{\partial y}, depois \dfrac{\partial}{\partial x} ao resultado, e por fim \dfrac{\partial}{\partial y} ao que obtiver.
Vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais: se z=f(u) com u=u(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\frac{\partial u}{\partial y}.
No nosso caso, u(x,y)=2x-y e f(u)=u^{5}, logo f'(u)=5u^{4}.
Também é útil notar que \dfrac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2 e \dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial, que é a derivação em relação a y (a direita):
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d}{dy}\bigl((2x-y)^{5}\bigr) = 5(2x-y)^{4}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y).
Como \dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=-5(2x-y)^{4}.

Passo 4

Agora derivar em relação a x o resultado do passo anterior:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5(2x-y)^{4}\bigr) = -5\cdot 4(2x-y)^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x-y).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2, segue
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = -20(2x-y)^{3}\cdot 2 = -40(2x-y)^{3}.

Passo 5

Por fim, derivar em relação a y o resultado do passo anterior:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\right) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-40(2x-y)^{3}\bigr) = -40\cdot 3(2x-y)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y).
Com \dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1, temos
\frac{\partial^{3} z}{\partial y \partial x \partial y} = -120(2x-y)^{2}\cdot(-1) = 120(2x-y)^{2}.

Resposta

120(2x-y)^{2}

Exercícios relacionados