Dado z=(2 x-y)^{5}, determine
\frac{\partial^{4} z}{\partial x^{2} \partial y^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função z=(2x-y)^{5} e pede o derivada parcial mista de quarta ordem
\frac{\partial^{4} z}{\partial x^{2}\partial y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende apenas da combinação linear u=2x-y.
  • Queremos a derivada com duas diferenciações em x e duas em y (ordem de diferenciação não importa aqui, pois z é suave).

Passo 2

Vamos começar lembrando a regra da cadeia para derivadas parciais quando z=f(u(x,y)). Se z=f(u) com u=u(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\frac{\partial u}{\partial y}.
No nosso caso f(u)=u^{5} e u(x,y)=2x-y. Calculemos as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-1.
Esses são constantes porque u é linear em x,y. Isso simplifica muito as derivadas mais altas.

Passo 3

Aplique a regra da cadeia para obter as primeiras derivadas de z.
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\cdot 2.
Como f'(u)=5u^{4}, temos
\frac{\partial z}{\partial x}=5u^{4}\cdot 2=10u^{4}=10(2x-y)^{4}.
De modo análogo,
\frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\cdot(-1)=-5u^{4}=-5(2x-y)^{4}.

Passo 4

Agora calcule derivadas de ordem maior. Porque \partial u/\partial x e \partial u/\partial y são constantes, existe uma forma compacta para derivadas mistas: para inteiros não-negativos a,b,
\frac{\partial^{a+b} z}{\partial x^{a}\partial y^{b}} = f^{(a+b)}(u)\,\bigg(\frac{\partial u}{\partial x}\bigg)^{a}\,\bigg(\frac{\partial u}{\partial y}\bigg)^{b},
pois cada diferenciação com respeito a x traz um fator \partial u/\partial x e cada diferenciação com respeito a y traz um fator \partial u/\partial y, e as derivadas iteradas de f avaliada em u aparecem por conta da regra da cadeia repetida. Essa identidade vale aqui porque u é linear (suas segundas derivadas são zero), evitando termos extras.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de f(u)=u^{5} até a quarta ordem:
f'(u)=5u^{4},\qquad f''(u)=20u^{3},\qquad f^{(3)}(u)=60u^{2},\qquad f^{(4)}(u)=120u.

Passo 6

Aplicando a fórmula do Passo 4 para a=2 e b=2 (duas vezes em x e duas em y):
\frac{\partial^{4} z}{\partial x^{2}\partial y^{2}} = f^{(4)}(u)\,\bigg(\frac{\partial u}{\partial x}\bigg)^{2}\,\bigg(\frac{\partial u}{\partial y}\bigg)^{2}.
Substituindo f^{(4)}(u)=120u, \partial u/\partial x=2 e \partial u/\partial y=-1, obtemos
\frac{\partial^{4} z}{\partial x^{2}\partial y^{2}} =120u\cdot 2^{2}\cdot(-1)^{2}=120u\cdot 4\cdot 1=480u.
Substituindo u=2x-y
\frac{\partial^{4} z}{\partial x^{2}\partial y^{2}}=480(2x-y).

Passo 7

(Verificação alternativa por diferenciação direta, útil para a prova.) Já tínhamos
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=80(2x-y)^{3}.
Diferenciando duas vezes em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(80(2x-y)^{3}\big)=80\cdot 3(2x-y)^{2}\cdot(-1)=-240(2x-y)^{2},
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(80(2x-y)^{3}\big) =\frac{\partial}{\partial y}\big(-240(2x-y)^{2}\big)=-240\cdot 2(2x-y)\cdot(-1)=480(2x-y),
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\,480(2x-y)\,

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