Dado
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o derivada parcial mista de quarta ordem
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende apenas da combinação linear
. - Queremos a derivada com duas diferenciações em
e duas em (ordem de diferenciação não importa aqui, pois é suave).
Passo 2
Vamos começar lembrando a regra da cadeia para derivadas parciais quando
. Se
com
, então
No nosso caso
e
. Calculemos as derivadas parciais de
:
Esses são constantes porque
é linear em
. Isso simplifica muito as derivadas mais altas.
Passo 3
Aplique a regra da cadeia para obter as primeiras derivadas de
.
Como
, temos
De modo análogo,
Passo 4
Agora calcule derivadas de ordem maior. Porque
e
são constantes, existe uma forma compacta para derivadas mistas: para inteiros não-negativos
,
pois cada diferenciação com respeito a
traz um fator
e cada diferenciação com respeito a
traz um fator
, e as derivadas iteradas de
avaliada em
aparecem por conta da regra da cadeia repetida. Essa identidade vale aqui porque
é linear (suas segundas derivadas são zero), evitando termos extras.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem:
Passo 6
Aplicando a fórmula do Passo 4 para
e
(duas vezes em
e duas em
):
Substituindo
,
e
, obtemos
Substituindo
dá
Passo 7
(Verificação alternativa por diferenciação direta, útil para a prova.) Já tínhamos
Diferenciando duas vezes em
:
confirmando o resultado anterior.