Exercício 2.15.
Lema 1.3.7:
Sejam
tais que
e
. Então, para
, tem-se que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
e . -
(valores quaisquer).
O que se pede: provar que
; isto é, mostrar que
é múltiplo de
para quaisquer inteiros
.
Passo 2
Relembre a definição de divisibilidade (isso é importante para a prova): dado
, dizemos que
se, e somente se, existe um inteiro
tal que
. Aqui:
-
significa que existe tal que . -
significa que existe tal que .
Passo 3
A partir do item anterior escrevemos explicitamente os
e
que existem:
Passo 4
Multiplicamos essas igualdades por
e por
, respectivamente. Como o produto de inteiros é inteiro,
e
são inteiros:
Passo 5
Somando as duas igualdades obtemos
Aqui
é um inteiro (soma de inteiros), então
é um múltiplo de
.
Passo 6
Conclusão lógica: pela definição de divisibilidade, existir um inteiro
tal que
é exatamente a afirmação
. Tomando
vemos que essa condição está satisfeita para quaisquer inteiros
. Portanto a afirmação está provada.
Exemplinho rápido para fixar: seja
,
,
(temos
e
). Para
,
temos
, e
, ou seja
, confirmando o lema com números concretos.