Exercício 2.15.
Lema 1.3.7:
Sejam a, b, d \in \mathbb{Z} tais que d \mid a e d \mid b. Então, para x, y \in \mathbb{Z}, tem-se que d \mid(a x+b y).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b,d\in\mathbb{Z}.
  • d\mid a e d\mid b.
  • x,y\in\mathbb{Z} (valores quaisquer).
O que se pede: provar que d\mid(ax+by); isto é, mostrar que ax+by é múltiplo de d para quaisquer inteiros x,y.

Passo 2

Relembre a definição de divisibilidade (isso é importante para a prova): dado m,n\in\mathbb{Z}, dizemos que m\mid n se, e somente se, existe um inteiro t tal que n = m t. Aqui:
  • d\mid a significa que existe k\in\mathbb{Z} tal que a = d k.
  • d\mid b significa que existe l\in\mathbb{Z} tal que b = d l.

Passo 3

A partir do item anterior escrevemos explicitamente os k e l que existem:
a = d k \quad\text{com } k\in\mathbb{Z}, \qquad b = d l \quad\text{com } l\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Multiplicamos essas igualdades por x e por y, respectivamente. Como o produto de inteiros é inteiro, kx e ly são inteiros:
ax = (d k)x = d (k x), \qquad by = (d l)y = d (l y).

Passo 5

Somando as duas igualdades obtemos
ax+by = d(kx) + d(ly) = d\big(kx + ly\big).
Aqui \big(kx+ly\big) é um inteiro (soma de inteiros), então ax+by é um múltiplo de d.

Passo 6

Conclusão lógica: pela definição de divisibilidade, existir um inteiro q tal que ax+by = d q é exatamente a afirmação d\mid(ax+by). Tomando q = kx+ly vemos que essa condição está satisfeita para quaisquer inteiros x,y. Portanto a afirmação está provada.
Exemplinho rápido para fixar: seja a=6, b=10, d=2 (temos 2\mid6 e 2\mid10). Para x=3, y=4 temos ax+by = 6\cdot3 + 10\cdot4 = 18+40=58, e 58 = 2\cdot29, ou seja 2\mid58, confirmando o lema com números concretos.

Resposta

d \mid (ax+by)

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