O ponto onde devemos avaliar é \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\pi/4,\,0\bigr).
A notação \dfrac{\partial^{3} w}{\partial x^{2}\partial y} significa derivar duas vezes em x e uma vez em y (a ordem escolhida será \partial/\partial y aplicado a \partial^{2}w/\partial x^{2}, mas, por ser uma função suave, a ordem dos diferenciais não altera o resultado).
Passo 2
Plano de ação (explicação didática do que vou fazer):
Quando eu der uma derivada parcial em x, trato y como constante; quando derivar em y, trato x como constante. Isto vem da definição de derivada parcial.
A função w é produto de e^{y} (função de y apenas) e \cos x (função de x apenas). Assim, ao derivar em x, e^{y} é um fator constante; ao derivar em y, \cos x é constante.
Vou calcular \partial w/\partial x, depois \partial^{2}w/\partial x^{2} e por fim \partial/\partial y desse resultado. Cada passo será feito passo a passo e explicado.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em x:
Regra usada: a derivada de \cos x em relação a x é -\sin x. Como e^{y} é constante quando derivamos em x, temos