Dado w=e^{y} \cos x, determine
\left.\frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2} \partial y}\right|_{(\pi / 4,0)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função w=e^{y}\cos x e pede o valor do derivado parcial misto de terceira ordem
\left.\frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2}\partial y}\right|_{(\pi/4,0)}.
Informações relevantes:
  • A função é w(x,y)=e^{y}\cos x.
  • O ponto onde devemos avaliar é \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\pi/4,\,0\bigr).
  • A notação \dfrac{\partial^{3} w}{\partial x^{2}\partial y} significa derivar duas vezes em x e uma vez em y (a ordem escolhida será \partial/\partial y aplicado a \partial^{2}w/\partial x^{2}, mas, por ser uma função suave, a ordem dos diferenciais não altera o resultado).

Passo 2

Plano de ação (explicação didática do que vou fazer):
  • Quando eu der uma derivada parcial em x, trato y como constante; quando derivar em y, trato x como constante. Isto vem da definição de derivada parcial.
  • A função w é produto de e^{y} (função de y apenas) e \cos x (função de x apenas). Assim, ao derivar em x, e^{y} é um fator constante; ao derivar em y, \cos x é constante.
  • Vou calcular \partial w/\partial x, depois \partial^{2}w/\partial x^{2} e por fim \partial/\partial y desse resultado. Cada passo será feito passo a passo e explicado.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em x:
  • Regra usada: a derivada de \cos x em relação a x é -\sin x. Como e^{y} é constante quando derivamos em x, temos
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{y}\,\frac{d}{dx}(\cos x) = e^{y}(-\sin x).
Portanto
\frac{\partial w}{\partial x} = -e^{y}\sin x.

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial em x:
  • Derivamos -e^{y}\sin x em relação a x. Novamente e^{y} é constante no diferencial em x e a derivada de \sin x é \cos x. Assim
\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}} = -e^{y}\,\frac{d}{dx}(\sin x) = -e^{y}\cos x.

Passo 5

Calcular a derivada em y do resultado anterior:
  • Agora derivamos -e^{y}\cos x em relação a y. Aqui \cos x é constante e a derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}\right) = \frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2}\partial y} = -\bigl(e^{y}\bigr)\cos x = -e^{y}\cos x.

Passo 6

Avaliar no ponto \bigl(\pi/4,\,0\bigr):
  • Substituir x=\pi/4 e y=0 em -e^{y}\cos x.
  • Usar que e^{0}=1 e \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\left.\frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2}\partial y}\right|_{(\pi/4,0)} = -e^{0}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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