Dados a1, c in R e b1>0, considere as sequências (an)n >= 1 e (bn)n >= 1 dadas pelas relações:
bn+1=c cdot bn.
Determine (dependendo de a1, b1 e c ), se as sequências (an) e (bn) são monótonas (crescente ou decrescente) e calcule, caso existam, seus limites quando n infty.

Passo 1

Vamos estudar duas sequências: uma aritmética definida por a_{n+1}=a_n + c com termo inicial a_1, e uma geométrica definida por b_{n+1}=c\cdot b_n com b_1>0. Primeiro, obtemos as fórmulas gerais de cada sequência usando recorrência por indução.

Passo 2

A sequência aritmética satisfaz
an = a1 + (n-1),c
e a sequência geométrica satisfaz
bn = b1,c^,n-1

Passo 3

Agora, para a sequência (a_n), analisamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1-an = c

Passo 4

Se c>0, então a_{n+1}-a_n>0 e (a_n) é estritamente crescente. Se c<0, então é estritamente decrescente. Se c=0, é constante. Para o limite de (a_n) quando n→∞: se c>0, a_n→+∞; se c<0, a_n→−∞; se c=0, a_n=a_1 para todo n.

Passo 5

Para a sequência (b_n), estudamos o sinal de c e seu módulo. Se c>1, então c^{n-1} cresce sem limite e como b_1>0, b_n aumenta para +∞ (estritamente crescente). Se c=1, então b_n=b_1 para todo n (constante). Se 0<c<1, então c^{n-1}→0 e b_n decresce estritamente para 0. Se c=0, então b_2=b_3=…=0; há uma queda de b_1 para 0 e depois fica constante em 0 (monótona não crescente nem estritamente). Se c<0, os termos alternam de sinal e não há monotonia. Para o limite, se |c|<1 então b_n→0 apesar da oscilação de sinal; se |c|>1 ou c=−1, b_n diverge (não há limite).

Resposta

Sequência aritmética a_n=a_1+(n−1)c: crescente se c>0, decrescente se c<0, constante se c=0; limite +∞ (c>0), −∞ (c<0) ou a_1 (c=0). Sequência geométrica b_n=b_1c^{n−1}: se c>1, cresce e diverge para +∞; se c=1, constante em b_1; se 0<c<1, decresce estritamente e tende a 0; se c=0, desce de b_1 a 0 e fica constante; se c<0 não é monótona, e o limite existe (=0) só se |c|<1, caso contrário diverge ou não converge.

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