Dados
e
, considere as sequências
e
dadas pelas relações:
.
Determine (dependendo de
e
), se as sequências
e
são monótonas (crescente ou decrescente) e calcule, caso existam, seus limites quando
.
Determine (dependendo de
Passo 1
Vamos estudar duas sequências: uma aritmética definida por a_{n+1}=a_n + c com termo inicial a_1, e uma geométrica definida por b_{n+1}=c\cdot b_n com b_1>0. Primeiro, obtemos as fórmulas gerais de cada sequência usando recorrência por indução.
Passo 2
A sequência aritmética satisfaz
e a sequência geométrica satisfaz
Passo 3
Agora, para a sequência (a_n), analisamos a diferença entre termos consecutivos:
Passo 4
Se c>0, então a_{n+1}-a_n>0 e (a_n) é estritamente crescente. Se c<0, então é estritamente decrescente. Se c=0, é constante. Para o limite de (a_n) quando n→∞: se c>0, a_n→+∞; se c<0, a_n→−∞; se c=0, a_n=a_1 para todo n.
Passo 5
Para a sequência (b_n), estudamos o sinal de c e seu módulo. Se c>1, então c^{n-1} cresce sem limite e como b_1>0, b_n aumenta para +∞ (estritamente crescente). Se c=1, então b_n=b_1 para todo n (constante). Se 0<c<1, então c^{n-1}→0 e b_n decresce estritamente para 0. Se c=0, então b_2=b_3=…=0; há uma queda de b_1 para 0 e depois fica constante em 0 (monótona não crescente nem estritamente). Se c<0, os termos alternam de sinal e não há monotonia. Para o limite, se |c|<1 então b_n→0 apesar da oscilação de sinal; se |c|>1 ou c=−1, b_n diverge (não há limite).
Resposta
Sequência aritmética a_n=a_1+(n−1)c: crescente se c>0, decrescente se c<0, constante se c=0; limite +∞ (c>0), −∞ (c<0) ou a_1 (c=0). Sequência geométrica b_n=b_1c^{n−1}: se c>1, cresce e diverge para +∞; se c=1, constante em b_1; se 0<c<1, decresce estritamente e tende a 0; se c=0, desce de b_1 a 0 e fica constante; se c<0 não é monótona, e o limite existe (=0) só se |c|<1, caso contrário diverge ou não converge.