Verifique que as sequências an abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você pode dizer a respeito da convergência destas sequências?
an=1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)(2 n)^n, n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a sequência an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)(2n)^n, mostrando que ela é decrescente, tem limitante inferior e, portanto, é convergente. O conteúdo aqui é teoria de sequências monotônicas e o Teorema da Convergência Monótona, e vamos precisar comparar an+1 com an e achar o limite dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, observamos que todos os termos an são positivos, pois o produto de números ímpares positivos dividido por (2n)^n positivo dá algo maior que zero. Depois, vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
[
\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1),(2n+1)}{\bigl(2(n+1)\bigr){n+1}};\Bigl/;\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{(2n)n}
=\frac{2n+1}{\bigl(2n+2\bigr)};\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n.

Passo 3

Agora a gente mostra que essa razão é sempre menor que 1, o que implica decrescimento. Note que
2n+12n+2=1-12n+2<1
e
l(nn+1r)^n=l(1-1n+1r)^n
Multiplicando os dois fatores, tem-se an+1/an<1, logo an+1 para todo n, ou seja, a sequência é decrescente.

Passo 4

Como cada an é positivo, 0 é um limitante inferior imediato. Assim, an é decrescente e limitada inferiormente por 0.
Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência decrescente e limitada inferiormente converge para algum limite L>=0.

Passo 5

Para achar L, note que se anto L então também an+1/anto1/e. Fazendo o “passe de limite” em an+1/an=L/L obtemos
LL=1e
isto só bate se L=0. Portanto, limntoinftyan=0.

Resposta

A sequência é decrescente, limitada inferiormente por 0 e, portanto, convergente. Seu limite é 0.

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