Verifique que as sequências
abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você pode dizer a respeito da convergência destas sequências?
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a sequência
, mostrando que ela é decrescente, tem limitante inferior e, portanto, é convergente. O conteúdo aqui é teoria de sequências monotônicas e o Teorema da Convergência Monótona, e vamos precisar comparar
com
e achar o limite dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, observamos que todos os termos
são positivos, pois o produto de números ímpares positivos dividido por
positivo dá algo maior que zero. Depois, vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
[
\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1),(2n+1)}{\bigl(2(n+1)\bigr){n+1}};\Bigl/;\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{(2n)n}
=\frac{2n+1}{\bigl(2n+2\bigr)};\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n.
\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1),(2n+1)}{\bigl(2(n+1)\bigr){n+1}};\Bigl/;\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{(2n)n}
=\frac{2n+1}{\bigl(2n+2\bigr)};\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n.
Passo 3
Agora a gente mostra que essa razão é sempre menor que 1, o que implica decrescimento. Note que
e
Multiplicando os dois fatores, tem-se
, logo
para todo
, ou seja, a sequência é decrescente.
Passo 4
Como cada
é positivo, 0 é um limitante inferior imediato. Assim,
é decrescente e limitada inferiormente por 0.
Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência decrescente e limitada inferiormente converge para algum limite .
Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência decrescente e limitada inferiormente converge para algum limite
Passo 5
Para achar
, note que se
então também
. Fazendo o “passe de limite” em
obtemos
isto só bate se
. Portanto,
.
Resposta
A sequência é decrescente, limitada inferiormente por 0 e, portanto, convergente. Seu limite é 0.