Exercício 5 Utilizando ferramentas de cálculo diferencial, determine o menor valor de
entre todos os pares
que satisfazem a equação
-
Passo 1
O enunciado pede o menor valor de
sujeito à reta
. O tema aqui é otimização com restrição usando cálculo diferencial, e vamos precisar aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange (ou pensar em minimizar o quadrado da distância).
Passo 2
Para simplificar a conta, em vez de minimizar
, vamos minimizar
. Como
é crescente em
, o mínimo de
ocorre no mesmo ponto que o mínimo de
.
Passo 3
Montamos a função de Lagrange juntando
com a restrição
:
Passo 4
Calculamos as condições de ótimo anulando as derivadas parciais:
Da primeira equação vem
e da segunda
. Substituindo na restrição:
Passo 5
Com
obtemos
Então o valor mínimo de
é
Logo o menor valor de
é