Exercício 5 Utilizando ferramentas de cálculo diferencial, determine o menor valor de raizx^2+y^2 entre todos os pares (x, y) que satisfazem a equação
3 x-2 y=20

Passo 1

O enunciado pede o menor valor de raizx^2+y^2 sujeito à reta 3x-2y=20. O tema aqui é otimização com restrição usando cálculo diferencial, e vamos precisar aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange (ou pensar em minimizar o quadrado da distância).

Passo 2

Para simplificar a conta, em vez de minimizar f(x,y)=raizx^2+y^2, vamos minimizar D(x,y)=x^2+y^2. Como raizD é crescente em D>=0, o mínimo de raizD ocorre no mesmo ponto que o mínimo de D.

Passo 3

Montamos a função de Lagrange juntando D(x,y) com a restrição g(x,y)=3x-2y-20=0:
L(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambda,(3x-2y-20)

Passo 4

Calculamos as condições de ótimo anulando as derivadas parciais:
partialLpartial x=2x+3lambda=0,
partialLpartial y=2y-2lambda=0,
partialLpartial lambda=3x-2y-20=0
Da primeira equação vem x=-tfrac3lambda2 e da segunda y=lambda. Substituindo na restrição:
3l(-tfrac3lambda2r)-2(lambda)-20=0 Longrightarrow -tfrac9lambda2-2lambda=20 Longrightarrow -tfrac13lambda2=20 Longrightarrow lambda=-tfrac4013

Passo 5

Com lambda=-tfrac4013 obtemos
x=-tfrac32l(-tfrac4013r)=tfrac6013, y=-tfrac4013
Então o valor mínimo de D é
Dmin=l(tfrac6013r)^2+l(-tfrac4013r)^2=3600+1600169=5200169
Logo o menor valor de raizD=raizx^2+y^2 é
raizDmin=raiz5200169=20raiz13

Resposta

20raiz13

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