(a) Se
, então
.
(b) Se
, então
.
© Se
, então
.
(d) Se
, então
.
(e) Se
e
, então
.
(f) Se
, então
.
(g) Se
, então
.
(h) Se
, então
.
(b) Se
© Se
(d) Se
(e) Se
(f) Se
(g) Se
(h) Se
Passo 1
O enunciado apresenta oito proposições envolvendo desigualdades e funções de uma variável real. O conteúdo envolve propriedades de desigualdades (multiplicação por número negativo, inversão na recíproca, análise de funções quadrática e cúbica) e precisamos determinar se cada implicação é verdadeira ou falsa, dando justificativas ou contraexemplos.
Passo 2
Para (a) usamos a regra: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Como ,–5 é negativo, de
obtemos
, logo a afirmação
é falsa. Um contraexemplo: tome
, então
e
, e
.
Passo 3
Para (b) e © analisamos
. Essa desigualdade equivale a
. Logo sempre vale
(então (b) é verdadeira) mas nem sempre
(por exemplo,
satisfaz
mas não
), tornando © falsa.
Passo 4
Em (d) temos
, o que equivale a
ou
. A implicação "se
então
" falha sempre que
. Por exemplo,
satisfaz
mas não
, logo (d) é falsa.
Passo 5
Para (e) consideramos números não nulos. A recíproca inverte a desigualdade apenas quando os dois números têm o mesmo sinal. Mas o enunciado permite sinais diferentes. Contraexemplo:
satisfaz
e
mas
, enquanto a afirmativa pede
. Portanto (e) é falsa.
Passo 6
As afirmações (f) e (g) envolvem
. A função
é crescente para
e decrescente para
. Em (f) não há restrição de sinal, então por exemplo
mas
, tornando (f) falsa. Já em (g), com
, estamos na região crescente, de modo que sempre vale
, então (g) é verdadeira.
Passo 7
Para (h) olhamos
. Queremos ver se sempre
quando
. Isso falha em intervalos como
(por exemplo,
dá
) ou em
(
). Logo a implicação não é válida para todo
e (h) é falsa.
Resposta
a) Falsa; b) Verdadeira; c) Falsa; d) Falsa; e) Falsa; f) Falsa; g) Verdadeira; h) Falsa