(a) Se x, então -5 x<-5 y.
(b) Se x^2 <= 16, então x <= 4.
© Se x^2 <= 16, então x <=-4.
(d) Se x^2 >= 16, então x <=-4.
(e) Se x neq 0, y neq 0 e x, então 1x>1y.
(f) Se x, então x^2.
(g) Se 0, então x^2.
(h) Se x<1, então x^3.

Passo 1

O enunciado apresenta oito proposições envolvendo desigualdades e funções de uma variável real. O conteúdo envolve propriedades de desigualdades (multiplicação por número negativo, inversão na recíproca, análise de funções quadrática e cúbica) e precisamos determinar se cada implicação é verdadeira ou falsa, dando justificativas ou contraexemplos.

Passo 2

Para (a) usamos a regra: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Como ,–5 é negativo, de x obtemos -5x>-5y, logo a afirmação -5x< -5y é falsa. Um contraexemplo: tome x=1,y=2, então -5cdot1=-5 e -5cdot2=-10, e -5n<=ss -10.

Passo 3

Para (b) e © analisamos x^2<=16. Essa desigualdade equivale a -4<= x<=4. Logo sempre vale x<=4 (então (b) é verdadeira) mas nem sempre x<=-4 (por exemplo, x=0 satisfaz x^2<=16 mas não 0<=-4), tornando © falsa.

Passo 4

Em (d) temos x^2>=16, o que equivale a x<=-4 ou x>=4. A implicação "se x^2>=16 então x<=-4" falha sempre que x>=4. Por exemplo, x=5 satisfaz 5^2>=16 mas não 5<=-4, logo (d) é falsa.

Passo 5

Para (e) consideramos números não nulos. A recíproca inverte a desigualdade apenas quando os dois números têm o mesmo sinal. Mas o enunciado permite sinais diferentes. Contraexemplo: x=-1, y=1 satisfaz x e x,yneq0 mas 1/x=-1<1=1/y, enquanto a afirmativa pede 1/x>1/y. Portanto (e) é falsa.

Passo 6

As afirmações (f) e (g) envolvem x^2. A função f(x)=x^2 é crescente para x>0 e decrescente para x<0. Em (f) não há restrição de sinal, então por exemplo x=-2<1=y mas 4n<=ss1, tornando (f) falsa. Já em (g), com 0, estamos na região crescente, de modo que sempre vale x^2, então (g) é verdadeira.

Passo 7

Para (h) olhamos g(x)=x^3-x=x(x^2-1). Queremos ver se sempre x^3 quando x<1. Isso falha em intervalos como -1 (por exemplo, x=-0.5 -0.125>-0.5) ou em x=0 ( 0^3=0n<=ss0). Logo a implicação não é válida para todo x<1 e (h) é falsa.

Resposta

a) Falsa; b) Verdadeira; c) Falsa; d) Falsa; e) Falsa; f) Falsa; g) Verdadeira; h) Falsa

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