Supondo que a produçāo do exemplo anterior esteja sob controle, isto é, p=10 %, e que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades, qual a probabilidade de que uma caixa:
a. tenha mais do que 10 % de defeituosos?
b. não tenha itens defeituosos?

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que cada item tem 10% de chance de ser defeituoso (p = 0,1) e as caixas têm 100 itens (n = 100). Precisamos calcular duas coisas usando a distribuição binomial:
a) Probabilidade de ter mais de 10% de itens defeituosos na caixa (ou seja, mais de 10 itens defeituosos).
b) Probabilidade de não ter nenhum item defeituoso (X = 0).
O conteúdo aqui é Distribuição Binomial, e vamos usar a fórmula
P(X = k) ;=; binomnk , p^k ,(1-p)^n-k

Passo 2

Definindo a variável aleatória:
X = número de itens defeituosos em 100 tentativas (cada tentativa dá certo com probabilidade p = 0,1).
Logo
X sim Binomial(n=100,; p=0.1)
A teoria: em binomial a gente faz n tentativas independentes, cada uma com “sucesso” (defeito) com prob. p. A probabilidade de exatamente k defeitos é dada pela fórmula acima.

Passo 3

Queremos P(X > 10). Por definição:
P(X>10) ;=; 1 - P(X <= 10) ;=; 1 - sumk=0^10 binom100k (0.1)^k (0.9)^100-k
Para somar esses 11 termos normalmente usa-se calculadora estatística ou software.
Se você quiser uma aproximação rápida, pode usar a aproximação normal:
  • Média: P(X>10) approx P!l(Z > 10.5 - 103r) = 1 - Phi(0.167) approx 0.433
  • Desvio-padrão:
Com correção de continuidade:

Passo 4

Agora P(X = 0):
P(X=0) = binom1000 (0.1)^0 (0.9)^100 = (0.9)^100
Calculando:
0.9^100 approx 2,656 times 10^-5 ;=; 0.00002656

Resposta

a)
b)

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