(3,0) Os dados abaixo são a profundidade (em metros) de um corpo mineral após estudos com furos de sondagem de uma pesquisa mineral:
11,4 12,5 11 11,4 13,2
11,4 13,2 11,4 14,2 14,2
12,5 11 12,5 11 14,2
a) Construa a distribuição de frequência x i \mid F i;
b) Qual a profundidade em média desse corpo mineral?

Passo 1

O enunciado dá uma lista de profundidades (em metros) obtidas em furos de sondagem e pede duas coisas: (a) construir a distribuição de frequência x_i \mid F_i e (b) calcular a profundidade média do corpo mineral. As observações fornecidas são:
11,4,\;12,5,\;11,\;11,4,\;13,2,\;11,4,\;13,2,\;11,4,\;14,2,\;14,2,\;12,5,\;11,\;12,5,\;11,\;14,2.
Informações relevantes extraídas do enunciado: há 15 observações no total (contando os valores acima).

Passo 2

O que é uma distribuição de frequência x_i \mid F_i? É uma tabela que lista cada valor distinto observado x_i e a quantidade de vezes F_i que esse valor aparece nos dados. Para construir, identificamos os valores distintos e contamos quantas ocorrências cada um tem. Vou contar cada valor presente na lista do Passo 1.

Passo 3

Contagem das ocorrências (faço a contagem explícita):
  • Para 11: aparece nas posições 3, 12 e 14 da lista \Rightarrow F=3.
  • Para 11,4: aparece nas posições 1, 4, 6 e 8 \Rightarrow F=4.
  • Para 12,5: aparece nas posições 2, 11 e 13 \Rightarrow F=3.
  • Para 13,2: aparece nas posições 5 e 7 \Rightarrow F=2.
  • Para 14,2: aparece nas posições 9, 10 e 15 \Rightarrow F=3.
Verificação: somando as frequências 3+4+3+2+3 = 15, que é o total de observações, ok.

Passo 4

Agora apresento a tabela de frequência x_i \mid F_i. Cada linha dá um valor observado x_i e sua frequência F_i:
\begin{array}{c|c} x_i & F_i\\hline 11 & 3\\\\ 11,4 & 4\\\\ 12,5 & 3\\\\ 13,2 & 2\\\\ 14,2 & 3 \end{array}

Passo 5

Para encontrar a profundidade média usamos a média amostral ponderada pelas frequências. A fórmula da média quando temos valores distintos x_i com frequências F_i é
\bar{x}=\frac{\sum_i x_i F_i}{n},
onde \bar{x} é a média, x_i são os valores distintos, F_i suas frequências e n=\sum_i F_i é o total de observações. Aqui n=15.

Passo 6

Calculo dos produtos x_iF_i e da soma:
\begin{aligned} 11\cdot 3 &= 33,\\\\ 11,4\cdot 4 &= 45,6,\\\\ 12,5\cdot 3 &= 37,5,\\\\ 13,2\cdot 2 &= 26,4,\\\\ 14,2\cdot 3 &= 42,6. \end{aligned}
Somando:
\sum_i x_iF_i = 33 + 45,6 + 37,5 + 26,4 + 42,6 = 185,1.

Passo 7

Divido pela quantidade total n=15 para obter a média:
\bar{x}=\frac{185,1}{15}=12,34.
A unidade é metros, então a profundidade média é \,12,34\\ \text{m}.

Resposta

a) \displaystyle \begin{array}{c|c} x_i & F_i\\hline 11 & 3\\\\ 11,4 & 4\\\\ 12,5 & 3\\\\ 13,2 & 2\\\\ 14,2 & 3\end{array}\n
b) \bar{x}=12,34\\ \text{m}

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