Duas máquinas A e B são usadas para empacotar pó de café e ambas empacotam com um desvio-padrão de 10 g . Porém suspeita-se que elas têm médias diferentes e para verificar isto uma amostra com 20 pacotes da máquina A forneceu uma média de 502,74 g e uma amostra de 15 pacotes da máquina B forneceu uma média de 490,60 g. Teste a hipótese ao nível de 4 % de significância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas máquinas, A e B, que empacotam pó de café. Ambas têm um desvio-padrão de 10 g, mas suspeitamos que as médias das embalagens são diferentes. Para verificar isso, vamos usar Teste de Hipótese da estatística, especificamente para comparar duas médias. Vamos precisar calcular a diferença entre as médias das amostras e ver se essa diferença é significativa o suficiente para concluir que as máquinas realmente empacotam quantidades diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar.
  • Hipótese Nula (H₀): As duas máquinas têm a mesma média de empacotamento. Matemáticamente, H₀: μA = μB
  • Hipótese Alternativa (H₁): As duas máquinas têm médias diferentes. Matemáticamente, H₁: μA ≠ μB
Estamos usando um teste bicaudal porque estamos interessados em saber se há diferença, não importa qual máquina tem a média maior.

Passo 3

Agora, vamos definir o nível de significância do teste, que é de 4% ou α = 0,04. Esse valor nos ajuda a decidir quando rejeitar a hipótese nula. Como é um teste bicaudal, vamos dividir esse α em duas caudas de 2% cada.

Passo 4

Vamos determinar o valor crítico usando a distribuição normal (já que conhecemos o desvio-padrão das populações).
Para um nível de significância de 4% em um teste bicaudal, procuramos o valor z que deixa 2% na cauda esquerda e 2% na cauda direita da distribuição normal. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico z é aproximadamente ±2,05.

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste estatístico (z) usando a fórmula para a diferença entre duas médias:
z = (barXA - barXB) - (μA - μB) raiz (σ^2nA) + (σ^2nB)
Sabemos que sob a hipótese nula, μA - μB = 0. Portanto, a fórmula simplifica para:
z = barXA - barXB raiz (σ^2nA) + (σ^2nB)
Substituindo os valores:
z = 502,74 - 490,60 raiz (10^220) + (10^215) = 12,14 raiz5 + 6,67 = 12,14 raiz11,67 ≈ 12,143,417 ≈ 3,55

Passo 6

Agora, vamos comparar o valor calculado de z com os valores críticos.
  • Se |z| > 2,05, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se |z| ≤ 2,05, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, z ≈ 3,55, que é maior que 2,05. Portanto, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 4%, encontramos que z ≈ 3,55 é maior que o valor crítico de 2,05. Assim, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que há evidências suficientes para afirmar que as médias de empacotamento das máquinas A e B são diferentes.

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