- Os dados anteriores foram organizados na seguinte tabela de distribuição de frequências.
TABELA 1 - Peso, em kg, de estudantes. CAP/UFSJ, Ouro Branco, MG, 2025.
Peso
3
0,12
12,0
6
0,24
24,0
9
0,36
36,0
5
0,20
20,0
2
0,08
8,0
Total
25
1,000
100,0
Fonte: Dados fictícios.
a) Com base na tabela 1 calcule: a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o erro padrão da média;
b) Compare os resultados com os do exercício anterior;
c) Qual o novo valor da variância e do desvio padrão, se as seguintes operações forem feitas nos dados:
i) Soma-se 1,0 a cada dado;
ii) Multiplica-se por 1,1 a cada dado.
| Peso
|
|
|
|
|
|
3 | 0,12 | 12,0 |
|
|
6 | 0,24 | 24,0 |
|
|
9 | 0,36 | 36,0 |
|
|
5 | 0,20 | 20,0 |
|
|
2 | 0,08 | 8,0 |
| Total | 25 | 1,000 | 100,0 |
a) Com base na tabela 1 calcule: a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o erro padrão da média;
b) Compare os resultados com os do exercício anterior;
c) Qual o novo valor da variância e do desvio padrão, se as seguintes operações forem feitas nos dados:
i) Soma-se 1,0 a cada dado;
ii) Multiplica-se por 1,1 a cada dado.
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com a distribuição de pesos (em kg) de
estudantes, organizada por classes e frequências absolutas. As informações relevantes são:
- Intervalos de classe e frequências absolutas
(peguei estes números da tabela): -
: -
: -
: -
: -
:
-
- Total de observações:
(já dado na tabela). - O que o exercício pede:
a) Calcular a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o erro padrão da média, usando a tabela.
b) Comparar os resultados com os do exercício anterior (os resultados do exercício anterior NÃO foram fornecidos aqui).
c) Determinar a nova variância e o novo desvio padrão se:
i) soma-sea cada dado;
ii) multiplica-se porcada dado.
Passo 2
Como os dados estão em classes, vamos aproximar cada classe por seu ponto médio (marcação de classe) e tratar a tabela como dados agrupados. Explico a ideia e a fórmula:
- Marcação de classe
: é o ponto médio do intervalo de classe , dado por
Usar a marca de classe é uma aproximação padrão quando só se tem a frequência por classe.
Calculemos as marcas de classe:
Anotação dos pares
:
Passo 3
Vamos calcular a média amostral
usando as marcas de classe. A fórmula para a média com dados agrupados é
onde
é a frequência da i-ésima classe,
a marca de classe e
.
Calculemos
:
Somando:
Agora a média:
Interpretação curta: a média aproximada dos pesos é
.
Passo 4
Para a variância amostral (estimador não viciado) com dados agrupados usamos a fórmula do atalho:
Explico as partes:
-
é a soma das frequências vezes o quadrado da marca de classe; -
é correção que aparece na fórmula; - dividir por
produz a variância amostral, que é o estimador padrão quando se quer corrigir o viés (mesmo raciocínio do caso de dados não agrupados).
Calculemos
. Primeiro
e depois multiplicar por
:
Somando:
Agora aplique a fórmula:
Finalmente
Comentário sobre a escolha de
: quando se trabalha com uma amostra e se quer estimar a variância da população, usa-se
para corrigir o viés. Em exercícios de estatística descritiva às vezes pede-se a variância “populacional” (dividindo por
), mas o padrão para amostra é dividir por
. Aqui usei
.
Passo 5
O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
Interpretação: em média, um peso individual difere da média por cerca de
.
Passo 6
Coeficiente de variação (CV): é usado para comparar dispersões relativas quando as médias são diferentes. Fórmula:
Calculando:
Interpretação: o desvio padrão representa cerca de
da média — variação relativamente pequena/moderada.
Passo 7
Erro padrão da média (standard error of the mean, SEM): estima a precisão da média amostral como estimador da média populacional. Fórmula:
Aqui
, então
Interpretação: a incerteza típica da média estimada é cerca de
.
Passo 8
Resposta da alínea (b) — comparação com o exercício anterior:
Não há como fazer uma comparação numérica porque os resultados ou dados do exercício anterior NÃO foram fornecidos aqui. Posso explicar qualitativamente: quando se trabalha com dados agrupados (como fizemos, usando marcas de classe) a variância e o desvio padrão são aproximações dos valores que se obteriam com os dados brutos. Em geral, o cálculo por marcas de classe tende a suavizar a variabilidade dentro de cada classe e pode subestimar (ou, menos frequentemente, superestimar) a variância exata dependendo da distribuição real dentro das classes. Portanto, esperar pequenas diferenças entre estes resultados agrupados e os resultados do exercício com dados não agrupados (se esse for o caso).
Não há como fazer uma comparação numérica porque os resultados ou dados do exercício anterior NÃO foram fornecidos aqui. Posso explicar qualitativamente: quando se trabalha com dados agrupados (como fizemos, usando marcas de classe) a variância e o desvio padrão são aproximações dos valores que se obteriam com os dados brutos. Em geral, o cálculo por marcas de classe tende a suavizar a variabilidade dentro de cada classe e pode subestimar (ou, menos frequentemente, superestimar) a variância exata dependendo da distribuição real dentro das classes. Portanto, esperar pequenas diferenças entre estes resultados agrupados e os resultados do exercício com dados não agrupados (se esse for o caso).
Passo 9
Alínea (c) — efeito de transformações lineares sobre variância e desvio padrão. Explico as propriedades e depois aplico:
- Se a cada dado
somamos uma constante , formando , então
Ou seja, a variância e o desvio padrão não se alteram; a média muda, mas a dispersão em torno da média permanece igual.
- Se multiplicamos cada dado por uma constante
(aqui ), , então
Aplicando aos nossos números:
i) Soma-se a cada dado:
i) Soma-se
ii) Multiplica-se por
cada dado:
(Obs.: arredondei os resultados finais de desvio padrão a três casas significativas quando conveniente.)
Resposta
a)
b) Não é possível comparar numericamente — os resultados/dados do exercício anterior não foram fornecidos. Em termos gerais: cálculos com marcas de classe são aproximações e podem diferir um pouco dos valores obtidos com os dados brutos.
c) i)
c) ii)