1. Os dados anteriores foram organizados na seguinte tabela de distribuição de frequências.
TABELA 1 - Peso, em kg, de estudantes. CAP/UFSJ, Ouro Branco, MG, 2025.
Peso (\mathrm{kg}) \mathrm{F}_{\mathrm{i}} \mathrm{Fr}_{\mathrm{i}} \mathrm{Fp}_{\mathrm{i}}(\%)
[51,0 ; 57,0) 3 0,12 12,0
[57,0 ; 63,0) 6 0,24 24,0
[63,0 ; 69,0) 9 0,36 36,0
[69,0 ; 75,0) 5 0,20 20,0
[75,0 ; 81,0) 2 0,08 8,0
Total 25 1,000 100,0
Fonte: Dados fictícios.
a) Com base na tabela 1 calcule: a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o erro padrão da média;
b) Compare os resultados com os do exercício anterior;
c) Qual o novo valor da variância e do desvio padrão, se as seguintes operações forem feitas nos dados:
i) Soma-se 1,0 a cada dado;
ii) Multiplica-se por 1,1 a cada dado.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com a distribuição de pesos (em kg) de 25 estudantes, organizada por classes e frequências absolutas. As informações relevantes são:
  • Intervalos de classe e frequências absolutas f_i (peguei estes números da tabela):
    • [51,0 ; 57,0): f_1 = 3
    • [57,0 ; 63,0): f_2 = 6
    • [63,0 ; 69,0): f_3 = 9
    • [69,0 ; 75,0): f_4 = 5
    • [75,0 ; 81,0): f_5 = 2
  • Total de observações: n = 25 (já dado na tabela).
  • O que o exercício pede:
    a) Calcular a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o erro padrão da média, usando a tabela.
    b) Comparar os resultados com os do exercício anterior (os resultados do exercício anterior NÃO foram fornecidos aqui).
    c) Determinar a nova variância e o novo desvio padrão se:
    i) soma-se 1,0 a cada dado;
    ii) multiplica-se por 1,1 cada dado.

Passo 2

Como os dados estão em classes, vamos aproximar cada classe por seu ponto médio (marcação de classe) e tratar a tabela como dados agrupados. Explico a ideia e a fórmula:
  • Marcação de classe m_i: é o ponto médio do intervalo de classe [a,b), dado por
m_i = \frac{a+b}{2}.
Usar a marca de classe é uma aproximação padrão quando só se tem a frequência por classe.
Calculemos as marcas de classe:
\begin{aligned} m_1 &= \frac{51{,}0+57{,}0}{2} = 54{,}0,\\\ m_2 &= \frac{57{,}0+63{,}0}{2} = 60{,}0,\\\ m_3 &= \frac{63{,}0+69{,}0}{2} = 66{,}0,\\\ m_4 &= \frac{69{,}0+75{,}0}{2} = 72{,}0,\\\ m_5 &= \frac{75{,}0+81{,}0}{2} = 78{,}0. \end{aligned}
Anotação dos pares (m_i,f_i):
(54{,}0,3),\\ (60{,}0,6),\\ (66{,}0,9),\\ (72{,}0,5),\\ (78{,}0,2).

Passo 3

Vamos calcular a média amostral \bar{x} usando as marcas de classe. A fórmula para a média com dados agrupados é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i m_i}{n},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe, m_i a marca de classe e n=\sum_i f_i.
Calculemos \sum_i f_i m_i:
\begin{aligned} 3\cdot54{,}0 &= 162{,}0,\\\\ 6\cdot60{,}0 &= 360{,}0,\\\\ 9\cdot66{,}0 &= 594{,}0,\\\\ 5\cdot72{,}0 &= 360{,}0,\\\\ 2\cdot78{,}0 &= 156{,}0. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i m_i = 162{,}0 + 360{,}0 + 594{,}0 + 360{,}0 + 156{,}0 = 1632{,}0.
Agora a média:
\bar{x} = \frac{1632{,}0}{25} = 65{,}28.
Interpretação curta: a média aproximada dos pesos é \bar{x}=65{,}28\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Para a variância amostral (estimador não viciado) com dados agrupados usamos a fórmula do atalho:
s^2 = \frac{\sum_i f_i m_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
Explico as partes:
  • \sum_i f_i m_i^2 é a soma das frequências vezes o quadrado da marca de classe;
  • n\bar{x}^2 é correção que aparece na fórmula;
  • dividir por n-1 produz a variância amostral, que é o estimador padrão quando se quer corrigir o viés (mesmo raciocínio do caso de dados não agrupados).
Calculemos \sum_i f_i m_i^2. Primeiro m_i^2 e depois multiplicar por f_i:
\begin{aligned} 54{,}0^2 &= 2916{,}0 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot2916{,}0 = 8748{,}0,\\\\ 60{,}0^2 &= 3600{,}0 \quad\Rightarrow\quad 6\cdot3600{,}0 = 21600{,}0,\\\\ 66{,}0^2 &= 4356{,}0 \quad\Rightarrow\quad 9\cdot4356{,}0 = 39204{,}0,\\\\ 72{,}0^2 &= 5184{,}0 \quad\Rightarrow\quad 5\cdot5184{,}0 = 25920{,}0,\\\\ 78{,}0^2 &= 6084{,}0 \quad\Rightarrow\quad 2\cdot6084{,}0 = 12168{,}0. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i m_i^2 = 8748{,}0 + 21600{,}0 + 39204{,}0 + 25920{,}0 + 12168{,}0 = 107640{,}0.
Agora aplique a fórmula:
\begin{aligned} n\bar{x}^2 &= 25 \times 65{,}28^2 = 25 \times 4261{,}4784 = 106536{,}96,\\\ \sum_i f_i m_i^2 - n\bar{x}^2 &= 107640{,}0 - 106536{,}96 = 1103{,}04. \end{aligned}
Finalmente
s^2 = \frac{1103{,}04}{25-1} = \frac{1103{,}04}{24} = 45{,}96\\ \mathrm{kg}^2.
Comentário sobre a escolha de n-1: quando se trabalha com uma amostra e se quer estimar a variância da população, usa-se n-1 para corrigir o viés. Em exercícios de estatística descritiva às vezes pede-se a variância “populacional” (dividindo por n), mas o padrão para amostra é dividir por n-1. Aqui usei n-1.

Passo 5

O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{45{,}96}\approx 6{,}779\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: em média, um peso individual difere da média por cerca de 6{,}78\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Coeficiente de variação (CV): é usado para comparar dispersões relativas quando as médias são diferentes. Fórmula:
\mathrm{CV} = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Calculando:
\mathrm{CV} = \frac{6{,}779}{65{,}28}\times100\% \approx 10{,}39\%.
Interpretação: o desvio padrão representa cerca de 10{,}4\% da média — variação relativamente pequena/moderada.

Passo 7

Erro padrão da média (standard error of the mean, SEM): estima a precisão da média amostral como estimador da média populacional. Fórmula:
\mathrm{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui n=25, então
\mathrm{SEM} = \frac{6{,}779}{\sqrt{25}} = \frac{6{,}779}{5} \approx 1{,}356\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: a incerteza típica da média estimada é cerca de 1{,}356\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Resposta da alínea (b) — comparação com o exercício anterior:
Não há como fazer uma comparação numérica porque os resultados ou dados do exercício anterior NÃO foram fornecidos aqui. Posso explicar qualitativamente: quando se trabalha com dados agrupados (como fizemos, usando marcas de classe) a variância e o desvio padrão são aproximações dos valores que se obteriam com os dados brutos. Em geral, o cálculo por marcas de classe tende a suavizar a variabilidade dentro de cada classe e pode subestimar (ou, menos frequentemente, superestimar) a variância exata dependendo da distribuição real dentro das classes. Portanto, esperar pequenas diferenças entre estes resultados agrupados e os resultados do exercício com dados não agrupados (se esse for o caso).

Passo 9

Alínea (c) — efeito de transformações lineares sobre variância e desvio padrão. Explico as propriedades e depois aplico:
  • Se a cada dado X somamos uma constante c, formando Y=X+c, então
\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(X).
Ou seja, a variância e o desvio padrão não se alteram; a média muda, mas a dispersão em torno da média permanece igual.
  • Se multiplicamos cada dado por uma constante a (aqui a=1{,}1), Z=aX, então
\operatorname{Var}(Z)=a^2\operatorname{Var}(X), \qquad \operatorname{SD}(Z)=|a|\operatorname{SD}(X).
Aplicando aos nossos números:
i) Soma-se 1{,}0 a cada dado:
s^2_{\text{novo}} = 45{,}96\\ \mathrm{kg}^2,\qquad s_{\text{novo}} = 6{,}779\\ \mathrm{kg}.
ii) Multiplica-se por 1{,}1 cada dado:
s^2_{\text{novo}} = (1{,}1)^2 \times 45{,}96 = 1{,}21 \times 45{,}96 = 55{,}6116\\ \mathrm{kg}^2,
s_{\text{novo}} = 1{,}1 \times 6{,}779 \approx 7{,}457\\ \mathrm{kg}.
(Obs.: arredondei os resultados finais de desvio padrão a três casas significativas quando conveniente.)

Resposta

a) \;s^2=45{,}96\\ \mathrm{kg}^2,\quad s\approx6{,}779\\ \mathrm{kg},\quad \mathrm{CV}\approx10{,}39\%,\quad \mathrm{SEM}\approx1{,}356\\ \mathrm{kg}
b) Não é possível comparar numericamente — os resultados/dados do exercício anterior não foram fornecidos. Em termos gerais: cálculos com marcas de classe são aproximações e podem diferir um pouco dos valores obtidos com os dados brutos.
c) i) \;s^2_{\text{novo}}=45{,}96\\ \mathrm{kg}^2,\quad s_{\text{novo}}\approx6{,}779\\ \mathrm{kg}
c) ii) \;s^2_{\text{novo}}\approx55{,}6116\\ \mathrm{kg}^2,\quad s_{\text{novo}}\approx7{,}457\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados