Os dados a seguir são referentes às resistências à tensão e à compressão, em Mpa, de uma amostra de 12 corpos de prova de uma liga metálica.
Resistência à tensão (MPa)
Resistência à compressão (MPa)
77,2
83,6
84,7
88,3
90,3
89,7
33,2
35,4
36,6
39,8
40,2
80,4
85,5
85,2
89,1
92,5
90,2
32,3
34,5
35,7
38,9
41,3
Quem varia mais? A resistência à tensão ou à compressão. Justifique a medida de dispersão utilizada na comparação.
Passo 1
O enunciado pergunta: quem varia mais, a resistência à tensão ou à compressão, e pede justificação da medida de dispersão usada.
Peguei os dados da tabela do enunciado. Dei uma olhada e há uma ambiguidade: aparecem no total 22 números na tabela (valores maiores — aparentes para tensão — e valores menores — aparentes para compressão). Vou proceder usando os valores que claramente correspondem a cada tipo: os 12 valores maiores como resistência à tensão e os 10 valores menores como resistência à compressão (observação: o enunciado fala em amostra de 12 corpos de prova, mas na tabela que foi colada aparecem apenas 10 valores para compressão; não perguntei nada a mais e prossigo com os números visíveis). Os conjuntos que usei são:
Resistência à tensão (valores que peguei da tabela):
onde n é o número de observações, x_i são os dados e \overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i é a média amostral. O desvio-padrão é s=\sqrt{s^2}.
Por que desvio-padrão sozinho pode enganar aqui: se duas variáveis têm médias muito diferentes (por exemplo, médias em torno de 86 e 37), um desvio-padrão numericamente maior numa escala maior não significa necessariamente maior variabilidade relativa. Por isso usamos:
Coeficiente de variação (CV): é a razão entre o desvio-padrão e a média; é adimensional e permite comparar dispersões relativas entre conjuntos com unidades ou médias diferentes:
\text{CV}=\frac{s}{\overline{x}}\times 100\%.
Vou calcular \overline{x}, s e \text{CV} para cada conjunto. Também mostro uma forma prática de calcular s^2 usando somas de quadrados:
s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\overline{x}^2}{n-1},
que é algebraicamente equivalente e facilita contas manuais.
Passo 3
Cálculo para a resistência à tensão (uso os 12 valores listados):
Observação didática rápida: a média está em torno de 86 MPa, e o desvio-padrão de 4,54 MPa indica que, tipicamente, os valores se desviam dessa média por cerca de 4{,}5 MPa; mas o CV nos diz que isso corresponde a cerca de 5{,}26\% da média.
Passo 4
Cálculo para a resistência à compressão (uso os 10 valores listados):
Comentário didático: embora o desvio-padrão absoluto seja menor na compressão (3,11 MPa) do que na tensão (4,54 MPa), a média na compressão é muito menor, então a variação representa uma fração maior da média (CV maior).
Passo 5
Comparação e conclusão (justificada):
Medida escolhida para comparação: coeficiente de variação (\text{CV}), porque as médias dos dois conjuntos são muito diferentes e o CV é adimensional, permitindo comparação relativa da dispersão.
Interpretação: a resistência à compressão apresenta maior variabilidade relativa (maior CV). Em termos práticos: os valores de compressão variam mais em relação à sua própria média do que os valores de tensão em relação à média deles.
Resposta
A resistência à compressão varia mais. \text{CV}_{\text{tensão}}\approx 5,26\%ã \text{CV}_{\text{compressão}}\approx 8,45\%ã