1. Os dados a seguir são referentes às resistências à tensão e à compressão, em Mpa, de uma amostra de 12 corpos de prova de uma liga metálica.
Resistência à tensão (MPa) Resistência à compressão (MPa)
77,2 83,6 84,7 88,3 90,3 89,7 33,2 35,4 36,6 39,8 40,2
80,4 85,5 85,2 89,1 92,5 90,2 32,3 34,5 35,7 38,9 41,3
Quem varia mais? A resistência à tensão ou à compressão. Justifique a medida de dispersão utilizada na comparação.

Passo 1

O enunciado pergunta: quem varia mais, a resistência à tensão ou à compressão, e pede justificação da medida de dispersão usada.
Peguei os dados da tabela do enunciado. Dei uma olhada e há uma ambiguidade: aparecem no total 22 números na tabela (valores maiores — aparentes para tensão — e valores menores — aparentes para compressão). Vou proceder usando os valores que claramente correspondem a cada tipo: os 12 valores maiores como resistência à tensão e os 10 valores menores como resistência à compressão (observação: o enunciado fala em amostra de 12 corpos de prova, mas na tabela que foi colada aparecem apenas 10 valores para compressão; não perguntei nada a mais e prossigo com os números visíveis). Os conjuntos que usei são:
  • Resistência à tensão (valores que peguei da tabela):
    77,2,\\\ 83,6,\\\ 84,7,\\\ 88,3,\\\ 90,3,\\\ 89,7,\\\ 80,4,\\\ 85,5,\\\ 85,2,\\\ 89,1,\\\ 92,5,\\\ 90,2
  • Resistência à compressão (valores que peguei da tabela):
    33,2,\\\ 35,4,\\\ 36,6,\\\ 39,8,\\\ 40,2,\\\ 32,3,\\\ 34,5,\\\ 35,7,\\\ 38,9,\\\ 41,3
O objetivo agora é calcular medidas de dispersão para cada conjunto e decidir qual varia mais, explicando por que escolhi a medida.

Passo 2

Escolha da medida de dispersão — explicação didática, passo a passo e fórmulas:
  • Desvio-padrão (amostral): mede, em unidades originais, quanto os valores se espalham em torno da média. A fórmula (amostral, com correção de Bessel) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2,
onde n é o número de observações, x_i são os dados e \overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i é a média amostral. O desvio-padrão é s=\sqrt{s^2}.
  • Por que desvio-padrão sozinho pode enganar aqui: se duas variáveis têm médias muito diferentes (por exemplo, médias em torno de 86 e 37), um desvio-padrão numericamente maior numa escala maior não significa necessariamente maior variabilidade relativa. Por isso usamos:
  • Coeficiente de variação (CV): é a razão entre o desvio-padrão e a média; é adimensional e permite comparar dispersões relativas entre conjuntos com unidades ou médias diferentes:
\text{CV}=\frac{s}{\overline{x}}\times 100\%.
Vou calcular \overline{x}, s e \text{CV} para cada conjunto. Também mostro uma forma prática de calcular s^2 usando somas de quadrados:
s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\overline{x}^2}{n-1},
que é algebraicamente equivalente e facilita contas manuais.

Passo 3

Cálculo para a resistência à tensão (uso os 12 valores listados):
  1. Soma e média:
\sum x_i = 1036,7 \quad\Rightarrow\quad \overline{x}_{\text{tensão}}=\frac{1036,7}{12}=86,389\\ \text{(aprox.)}.ã
  1. Soma dos quadrados (calculei cada x_i^2 e somei):
\sum x_i^2 = 89784,51.
  1. Variância amostral usando a fórmula com somas:
s^2_{\text{tensão}}=\frac{\sum x_i^2 - n\overline{x}^2}{n-1} =\frac{89784,51 - 12\cdot(86,389)^2}{11} \approx\frac{227,22}{11}=20,6564.ã
  1. Desvio-padrão amostral:
s_{\text{tensão}}=\sqrt{20,6564}\approx 4,54.ã
  1. Coeficiente de variação:
\text{CV}_{\text{tensão}}=\frac{4,54}{86,389}\times100\%\approx 5,26\%.ã
Observação didática rápida: a média está em torno de 86 MPa, e o desvio-padrão de 4,54 MPa indica que, tipicamente, os valores se desviam dessa média por cerca de 4{,}5 MPa; mas o CV nos diz que isso corresponde a cerca de 5{,}26\% da média.

Passo 4

Cálculo para a resistência à compressão (uso os 10 valores listados):
  1. Soma e média:
\sum x_i = 367,9 \quad\Rightarrow\quad \overline{x}_{\text{compressão}}=\frac{367,9}{10}=36,79.ã
  1. Soma dos quadrados:
\sum x_i^2 = 13621,97.
  1. Variância amostral:
s^2_{\text{compressão}}=\frac{13621,97 - 10\cdot(36,79)^2}{9} \approx\frac{86,93}{9}=9,6588.ã
  1. Desvio-padrão:
s_{\text{compressão}}=\sqrt{9,6588}\approx 3,11.ã
  1. Coeficiente de variação:
\text{CV}_{\text{compressão}}=\frac{3,11}{36,79}\times100\%\approx 8,45\%.ã
Comentário didático: embora o desvio-padrão absoluto seja menor na compressão ( 3,11 MPa) do que na tensão ( 4,54 MPa), a média na compressão é muito menor, então a variação representa uma fração maior da média (CV maior).

Passo 5

Comparação e conclusão (justificada):
  • Medida escolhida para comparação: coeficiente de variação ( \text{CV}), porque as médias dos dois conjuntos são muito diferentes e o CV é adimensional, permitindo comparação relativa da dispersão.
  • Resultados numéricos arredondados: \text{CV}_{\text{tensão}}\approx 5,26\%,\qquad \text{CV}_{\text{compressão}}\approx 8,45\%.ãã
  • Interpretação: a resistência à compressão apresenta maior variabilidade relativa (maior CV). Em termos práticos: os valores de compressão variam mais em relação à sua própria média do que os valores de tensão em relação à média deles.

Resposta

A resistência à compressão varia mais.
\text{CV}_{\text{tensão}}\approx 5,26\%ã
\text{CV}_{\text{compressão}}\approx 8,45\%ã

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