Os dados apresentados na tabela referem-se a um perfil de velocidade de um escoamento de ar medido na seção transversal de um tubo circular com 100 cm de diâmetro interno. Determine a vazão volumétrica de ar em m^3/s na tubulação.
r(cm) V(m/s)
0.00 50.0
5.00 49.5
10.00 49.0
15.00 48.0
20.00 46.5
25.00 45.0
30.00 43.0
35.00 40.5
40.00 37.5
45.00 34.0
47.50 25.0
50.00 0.0

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá um perfil de velocidades do ar ao longo do raio de um tubo de diâmetro interno de 100 cm (ou seja, R = 50 cm) e pede a vazão volumétrica em m³/s.
Conteúdo: cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas e aplicação da regra do trapézio para integrar numericamente. Vamos precisar da fórmula da vazão em coordenadas polares, converter centímetros em metros e usar a técnica numérica de trapézio.

Passo 2

Teoria na prática:
  1. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área transversal é
dA = 2pi,r,dr
  1. Daí
Q ;=;integral duplaA V(r),dA ;=;2piintegral0^R V(r),r,dr
Nosso job é calcular essa integral de 0 até m usando a regra do trapézio, porque só temos valores de em certos .

Passo 3

Converter e organizar os dados:
  • Transformamos de cm para m: vai de 0,00 m até 0,50 m.
  • Temos pares .
  • Os incrementos são 0,05 m na maior parte, e 0,025 m nos últimos dois intervalos (de 0,45 a 0,475 e 0,475 a 0,50).

Passo 4

Aplicando a regra do trapézio na integral
integral0^RV(r),r,dr approx sumi=0^n-1 Vi,ri + Vi+1,ri+12;De
Fazendo as contas (vou poupar as 11 linhas de cálculo, mas a lógica é essa para cada intervalo), chegamos a:
integral0^0.50 V(r),r,dr approx 4,730625(m^2/s)

Passo 5

Agora volta na fórmula completa:
Q = 2pi integral0^R V(r),r,dr approx 2pi times 4,730625 approx 29,7;m^3!/s

Resposta

A vazão volumétrica aproximada é
boxedQ approx 29,7;m^3/s

Exercícios relacionados