Os dados apresentados na tabela referem-se a um perfil de velocidade de um escoamento de ar medido na seção transversal de um tubo circular com 100 cm de diâmetro interno. Determine a vazão volumétrica de ar em
na tubulação.
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0.00 | 50.0 |
5.00 | 49.5 |
10.00 | 49.0 |
15.00 | 48.0 |
20.00 | 46.5 |
25.00 | 45.0 |
30.00 | 43.0 |
35.00 | 40.5 |
40.00 | 37.5 |
45.00 | 34.0 |
47.50 | 25.0 |
50.00 | 0.0 |
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá um perfil de velocidades do ar ao longo do raio de um tubo de diâmetro interno de 100 cm (ou seja, R = 50 cm) e pede a vazão volumétrica
em m³/s.
Conteúdo: cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas e aplicação da regra do trapézio para integrar numericamente. Vamos precisar da fórmula da vazão em coordenadas polares, converter centímetros em metros e usar a técnica numérica de trapézio.
Conteúdo: cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas e aplicação da regra do trapézio para integrar numericamente. Vamos precisar da fórmula da vazão
Passo 2
Teoria na prática:
- Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área transversal é
- Daí
Nosso job é calcular essa integral de 0 até
m usando a regra do trapézio, porque só temos valores de
em certos
.
Passo 3
Converter e organizar os dados:
- Transformamos
de cm para m: vai de 0,00 m até 0,50 m. - Temos pares
. - Os incrementos
são 0,05 m na maior parte, e 0,025 m nos últimos dois intervalos (de 0,45 a 0,475 e 0,475 a 0,50).
Passo 4
Aplicando a regra do trapézio na integral
Fazendo as contas (vou poupar as 11 linhas de cálculo, mas a lógica é essa para cada intervalo), chegamos a:
Passo 5
Agora volta na fórmula completa:
Resposta
A vazão volumétrica aproximada é