Os dados apresentados na tabela referem-se a um perfil de velocidade de um escoamento de ar medido na seção transversal de um tubo circular com 100 cm de diâmetro interno. Determine uma equação que se ajusta aos pontos medidos e verifique o erro de ajuste.
r(cm) V(m/s)
0.00 50.0
5.00 49.5
10.00 49.0
15.00 48.0
20.00 46.5
25.00 45.0
30.00 43.0
35.00 40.5
40.00 37.5
45.00 34.0
47.50 25.0
50.00 0.0

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado nos dá uma tabela com valores de velocidade V em função da posição radial r num tubo de 100 cm de diâmetro (logo, raio R = 50 cm).
Conteúdo: ajustes de curva (regressão), em particular perfis de velocidade em escoamentos.
O que vamos precisar:
  • Reconhecer um modelo matemático razoável para V®.
  • Calcular o erro de ajuste (por exemplo, soma dos quadrados dos resíduos ou root‐mean‐square error).

Passo 2

Primeiro modelo clássico (escoamento laminar): perfil parabólico
Em fluxo laminar, a teoria de Navier–Stokes leva ao perfil
V(r) ;=; Vmax,l(1 - l(tfracrRr)^2r)
Aqui, Vrm lam(r) = 50l(1 - (r/50)^2r) é a velocidade no eixo ( ) e cm. Como m/s no dado, tomamos . Logo:
Se calcularmos os resíduos e fizermos

a gente encontra um erro grande (SSE ≈ 1 815 (m/s)², RMS ≈ 12,3 m/s). Isso mostra que o perfil parabólico laminar não casa bem com os dados.

Passo 3

Segundo modelo – perfil de escoamento turbulento (lei de potência)
Em muitos escoamentos turbulentos internos usa‐se o chamado “1/7‐law”:
V(r)Vmax = l(1 - tfracrRr)^1/7
De novo Vrm turb(r) = 50,l(1 - tfracr50r)^1/7 m/s e ei = Vi - 50l(1 - ri/50r)^1/7 cm, então
Vamos calcular de novo os resíduos
e a soma dos quadrados SSE. Fazendo isso dá SSE ≈ 112 (m/s)², ou seja RMS ≈ 3,05 m/s. Muito melhor que o modelo parabólico!

Passo 4

Conclusão rápida e verificação de erro
O modelo turbulento em lei de potência (expoente 1/7) ajusta bem os dados, com erro típico ≈3 m/s.

Resposta

A equação que melhor se ajusta aos pontos medidos é
boxedV(r) = 50;l(1 - tfracr50r)^1/7 (m/s),
com erro RMS de ajuste aproximadamente 3,05 m/s.

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