Dados a, b, c, d, A, B, C, D números reais, considere as funções M, N: R^{2} \rightarrow R^{2} definidas pelas leis de formação, respectivamente: para cada (x, y) \in R^{2}, M(x, y)=a x+ by e N(x, y)=A x+B y. Determine a lei de formação da composta \mathrm{M} \circ \mathrm{N}. Podemos identificar algum procedimento prático para determinar a lei formação dessa composta?

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares \displaystyle M,N\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
definidas por
M(x,y)=\bigl(a x + b y,\;c x + d y\bigr),
N(x,y)=\bigl(A x + B y,\;C x + D y\bigr),
e pede a lei de formação de \,M\circ N.
O conteúdo é composição de aplicações lineares em \mathbb{R}^2, que corresponde à multiplicação de matrizes 2\times2.

Passo 2

Representamos M e N por matrizes em relação à base canônica:
[M]=\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]c & d\end{pmatrix}, \quad [N]=\begin{pmatrix}A & B\\[6pt]C & D\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para calcular (M\circ N)(x,y), primeiro avaliamos
N(x,y)=\bigl(X,Y\bigr), \quad\text{onde }X=Ax+By,\;Y=Cx+Dy.
Em seguida,
M\bigl(X,Y\bigr) =\bigl(aX+bY,\;cX+dY\bigr).

Passo 4

Substituindo X e Y em M:
(M\circ N)(x,y) =\bigl(a(Ax+By)+b(Cx+Dy),\;c(Ax+By)+d(Cx+Dy)\bigr).
Agrupando termos em x e y:
(M\circ N)(x,y) =\bigl((aA+bC)\,x+(aB+bD)\,y,\;(cA+dC)\,x+(cB+dD)\,y\bigr).

Passo 5

Observamos que os coeficientes de (M\circ N) formam a matriz
[M\circ N] =[M]\,[N] =\begin{pmatrix}a & b\\[3pt]c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A & B\\[3pt]C & D\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}aA+bC & aB+bD\\[3pt]cA+dC & cB+dD\end{pmatrix}.
Logo, compor M e N equivale a multiplicar suas matrizes.]

Resposta

(M\circ N)(x,y) =\bigl((aA+bC)\,x+(aB+bD)\,y,\;(cA+dC)\,x+(cB+dD)\,y\bigr).
Em termos práticos, basta escrever M e N como matrizes 2\times2 e calcular [M\circ N]=[M]\,[N], isto é, usar multiplicação de matrizes.

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