Determine a equação reduzida da parábola de foco \boldsymbol{F}=(-1,3) e diretriz r: x=-5.
Escolha uma opção:
a. y+2=\frac{1}{12}(x-3)^{2}
b. x-3=-\frac{1}{8}(y-3)^{2}
c. x+3=\frac{1}{8}(y-3)^{2}
d. y+3=\frac{1}{8}(x-3)^{2}
e. x+2=\frac{1}{12}(y-3)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da parábola cujo foco é (-1,3) e cuja diretriz é a reta x=-5.
O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz. Vamos usar essa definição para achar primeiro o vértice e o parâmetro p, e então colocar a parábola na forma padrão.

Passo 2

Para achar o vértice, lembramos que ele está exatamente no ponto médio entre o foco e a diretriz ao longo da reta perpendicular à diretriz.
A diretriz é x=-5, o foco tem abscissa -1. O ponto médio em x é
\frac{-5 + (-1)}{2} = -3,
e em y o vértice tem mesma ordenada do foco, ou seja, 3.
Logo, o vértice é
V = (-3,\,3).

Passo 3

O parâmetro p é a distância do vértice até o foco (ou até a diretriz). Em abscissas,
p = |-1 - (-3)| = 2.
Como o foco está à direita da diretriz, a parábola abre para a direita.

Passo 4

Na forma canônica de uma parábola de eixo horizontal que abre para a direita, temos
(y - k)^{2} \;=\; 4p\,(x - h),
onde (h,k) é o vértice e 4p = 4\cdot 2 = 8. Substituindo h=-3 e k=3, obtém-se
(y - 3)^{2} = 8\,\bigl(x - (-3)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad (y - 3)^{2} = 8\,(x + 3).
Reescrevendo para isolar x+3, resulta
x + 3 = \tfrac{1}{8}\,(y - 3)^{2}.

Resposta

c. x+3=\frac{1}{8}(y-3)^{2}

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