Prove que para quaisquer
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função \r
\r
é estritamente crescente em , ou seja, \r
é estritamente crescente em
Vamos usar a fatoração da diferença de cubos e mostrar que o fator remanescente é sempre positivo.
Passo 2
Considere a diferença \r
Aplicando a fatoração de diferença de cubos, obtém-se \r
Passo 3
Mostremos que \r
De fato, \r
é soma de quadrados, logo estritamente positiva.
Passo 4
Como
, o sinal de
coincide com o sinal de
. Assim, \r
Mas
equivale a
e
equivale a
. Portanto\r