Prove que para quaisquer x, y \in \mathbb{R} :
x<y \Leftrightarrow x^{3}<y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \r
\;f(t)=t^3\; \r
é estritamente crescente em \mathbb{R}, ou seja, \r
\;x<y\;\Longleftrightarrow\;x^3<y^3. \r
Vamos usar a fatoração da diferença de cubos e mostrar que o fator remanescente é sempre positivo.

Passo 2

Considere a diferença \r
\;y^3 - x^3. \r
Aplicando a fatoração de diferença de cubos, obtém-se \r
\;y^3 - x^3 = (y - x)\,(y^2 + xy + x^2).

Passo 3

Mostremos que \r
\;y^2 + xy + x^2 > 0\quad\forall\,x,y\in\mathbb{R}. \r
De fato, \r
y^2 + xy + x^2 =\tfrac12\bigl((y-x)^2 + y^2 + x^2\bigr) \r
é soma de quadrados, logo estritamente positiva.

Passo 4

Como \;y^2+xy+x^2>0, o sinal de y^3 - x^3 coincide com o sinal de y-x. Assim, \r
y^3 - x^3 > 0 \;\Longleftrightarrow\; y - x > 0. \r
Mas y^3 - x^3>0 equivale a x^3<y^3 e y-x>0 equivale a x<y. Portanto\r
x<y \;\Longleftrightarrow\; x^3<y^3.

Resposta

\displaystyle x<y\iff x^3<y^3 para todos x,y\in\mathbb{R}.

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