Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, o quadrado de qualquer número é não–negativo, ou seja,
Vamos usar duas propriedades fundamentais de um corpo ordenado (como
):
- O elemento unidade satisfaz
. - Se
e , então .
Passo 2
Mostramos primeiro um lema útil:
Se , então
Se
Isso decorre diretamente da propriedade de que o produto de dois números positivos é positivo.
Passo 3
Agora, seja
. Há três possibilidades:
- Caso
: - Caso
:
aplicando o lema com, obtemos - Caso
:
então, e novamente pelo lema Mas , logo e, portanto, .
Resposta
Portanto, em todos os casos, vale