Prove que:
x^{2} \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{R}, o quadrado de qualquer número é não–negativo, ou seja,
x^{2}\;\ge\;0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Vamos usar duas propriedades fundamentais de um corpo ordenado (como \mathbb{R}):
  1. O elemento unidade satisfaz 1>0.
  2. Se a>0 e b>0, então a\cdot b>0.

Passo 2

Mostramos primeiro um lema útil:
Se a>0, então
a^{2} \;=\; a\cdot a \;>\; 0.
Isso decorre diretamente da propriedade de que o produto de dois números positivos é positivo.

Passo 3

Agora, seja x\in\mathbb{R}. Há três possibilidades:
  • Caso x=0: x^{2}=0^{2}=0\;\ge\;0.
  • Caso x>0:
    aplicando o lema com a=x, obtemos x^{2}>0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge0.
  • Caso x<0:
    então -x>0, e novamente pelo lema (-x)^{2}>0.Mas (-x)^{2}=x^{2}, logo x^{2}>0 e, portanto, x^{2}\ge0.

Resposta

Portanto, em todos os casos, vale
x^{2}\;\ge\;0\quad\forall x\in\mathbb{R}.

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