Dados a=(1,-2), b=(-2,4) e c=(7,-5). Demonstrar que c não pode se escrever na forma: h a+k b, onde h e k são números reais.

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec a=(1,-2), vec b=(-2,4) e vec c=(7,-5) e pede para mostrar que não existem escalares reais h,k tais que
h,vec a + k,vec b = vec c
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores em R^2 e podemos resolver montando um sistema linear ou observando dependência linear entre vec a e vec b.

Passo 2

Escrevendo a igualdade
h,(1,-2) + k,(-2,4) = (7,-5)
obtemos o sistema de coordenadas
h - 2k = 7, -2h + 4k = -5

Passo 3

Fazendo eliminação, multiplica-se a primeira equação por 2:
2h - 4k = 14
Somando com a segunda equação -2h +4k = -5, vem
(2h-4k)+(-2h+4k)=14+(-5) Longrightarrow 0 = 9,
o que é uma contradição. Portanto o sistema não tem solução em R.

Resposta

Não existem h,kin R tais que hvec a+kvec b=vec c, logo vec c não pode ser escrita nessa forma.

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