Considere os seguintes subespaços de R^3:
S=[(1,-1,2),(2,1,1)]
T=[(0,1,-1),(1,2,1)]
U=(x, y, z) / x+y=4 x-z=0
V=(x, y, z) / 3 x-y-z=0
Determine as dimensões de:
V

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de VsubsetR^3, onde
V=(x,y,z)inR^3 mid 3x - y - z = 0
O conteúdo aqui é identificar que V é o espaço solução de uma única equação linear homogênea em R^3.

Passo 2

Vamos ver V como o núcleo (kernel) de uma aplicação linear
f:R^3toR, f(x,y,z)=3x - y - z
Note que V=ker f.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity), temos
dim(ker f)+dim(Im f)=dim(R^3)=3
Como f é não trivial (o vetor de coeficientes (3,-1,-1) é não nulo), Imf é um subespaço de R de dimensão 1.

Passo 4

Portanto
dim(V)=dim(ker f)=3 - dim(Imf)=3 - 1=2

Resposta

dim(V)=2.

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