Mostre analíticamente que existem números r e s que satisfaçam a relação p=r a+s b onde
a=(1,-4), b=(3,4), p=(-1,2)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores vec a=(1,-4), vec b=(3,4) e vec p=(-1,2) e pede para mostrar que existem escalares r e s tais que
vec p = r,vec a + s,vec b
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear 2times 2 obtido pelas componentes dos vetores.

Passo 2

Escrevendo a relação vetorial por componentes, obtemos o sistema
r + 3s = -1, -4r + 4s = 2

Passo 3

Para eliminar r, multiplica-se a primeira equação por 4 e soma-se à segunda:
4r + 12s = -4 e -4r + 4s = 2 Longrightarrow 16s = -2 Longrightarrow s = -tfrac18

Passo 4

Substituindo s=-tfrac18 em r+3s=-1, temos
r + 3l(-tfrac18r) = -1 Longrightarrow r - tfrac38 = -1 Longrightarrow r = -tfrac58

Resposta

r = -tfrac58, s = -tfrac18

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