Questão 4 Considere o subespaço W de R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,-4,-3), v3=(-1,-1,-2,-4) e v4=(1,2,-5,-6)
Encontre:
(a) (1,0) Uma base de W.
(b) (1,0) Encontre uma base ortogonal de W.
(c) (1,0) Encontre as coordenadas de v2 em relação à base encontrada no item anterior.

Passo 1

O enunciado define o subespaço W=spanv1,v2,v3,v4subsetR^4, com
v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,-4,-3), v3=(-1,-1,-2,-4), v4=(1,2,-5,-6)
Precisamos (a) extrair uma base de W escolhendo um subconjunto linearmente independente, (b) aplicar o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal e (c) achar as coordenadas de v2 nessa base ortogonal.

Passo 2

Para descobrir a dimensão de W e extrair uma base, colocamos v1,v2,v3,v4 como linhas e fazemos eliminação:
1&1&1&1 1&2&-4&-3 -1&-1&-2&-4 1&2&-5&-6 ;xrightarroweliminação; 1&1&1&1 0&1&-5&-4 0&0&-1&-3 0&0&-1&-3 çã
Há 3 pivôs, logo dimW=3. As três primeiras linhas originais são independentes, então podemos tomar
v1,,v2,,v3
como base de W.

Passo 3

Vamos aplicar Gram-Schmidt ao conjunto v1,v2,v3. Definimos
u1=v1=(1,1,1,1)
Em seguida
proju1(v2) =v2cdot u1u1cdot u1,u1 =-44,u1=-u1=(-1,-1,-1,-1),
pois v2cdot u1=1+2-4-3=-4 e u1cdot u1=4. Logo
u2=v2-proju1(v2) =(1,2,-4,-3)-(-1,-1,-1,-1) =(2,3,-3,-2)

Passo 4

Para u3 retiramos as projeções de v3 sobre u1 e u2. Primeiro
proju1(v3) =v3cdot u1u1cdot u1,u1 =-84,u1=-2u1=(-2,-2,-2,-2),
pois v3cdot u1=-8. Então v3-proju1(v3)=(1,1,0,-2). Em seguida
proju2(v3) =(1,1,0,-2)cdot(2,3,-3,-2)(2,3,-3,-2)cdot(2,3,-3,-2),u2 =926,u2 =l(tfrac1826,tfrac2726,-tfrac2726,-tfrac1826r)
Subtraindo dessa diferença obtemos
u3 =(1,1,0,-2)-l(tfrac1826,tfrac2726,-tfrac2726,-tfrac1826r) =l(tfrac826,-tfrac126,tfrac2726,-tfrac3426r)
Multiplicando por 26 (para evitar frações) podemos usar
u3'=(8,-1,27,-34)
Portanto uma base ortogonal é
l,u1=(1,1,1,1),;u2=(2,3,-3,-2),;u3'=(8,-1,27,-34)r

Passo 5

Como os vetores ui são ortogonais, as coordenadas de v2 nessa base são
a=v2cdot u1u1cdot u1 =-1, b=v2cdot u2u2cdot u2 =1, c=v2cdot u3'u3'cdot u3' =0
De fato v2cdot u3'=0.

Resposta

(a) Uma base de W é
(1,1,1,1),;(1,2,-4,-3),;(-1,-1,-2,-4)
(b) Uma base ortogonal de W é
(1,1,1,1),;(2,3,-3,-2),;(8,-1,27,-34)
(c) As coordenadas de v2 em relação a essa base ortogonal são
(-1,;1,;0)

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