Classifique os sistemas abaixo em compatível determinado, compatível indeterminado e incompatível e resolva-os usando as matrizes ampliadas
\left\{\begin{aligned} x-2 y+3 z & =0 \\\\ 2 x+5 y+6 z & =0\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas x, y, z. É preciso classificar o sistema em compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível e resolvê-lo usando matriz aumentada. O conteúdo é sistemas lineares e eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & \vert & 0\\\\ 2 & 5 & 6 & \vert & 0 \end{pmatrix}
e aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda: R2 \leftarrow R2 -2R1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & \vert & 0\\\\ 0 & 9 & 0 & \vert & 0 \end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 9y=0, logo y=0.

Passo 3

Como há três incógnitas e apenas duas equações independentes, a variável z é livre. Definimos z = t, t\in\mathbb{R}.
Na primeira equação x - 2y + 3z = 0, substituímos y=0 e z=t, obtendo
x + 3t = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -3t.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = (-3t,0,t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Há infinitas soluções, logo o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado e a solução geral é
(x,y,z) = (-3t,0,t),\quad t\in\mathbb{R}.

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