Dados A(1,2) e B(-2,-1) e C pertencente ao eixo das abscissas. Se o quadrado da soma das distâncias A C e BC é mínima, podemos afirmar que a abscissa de C é:
a) \frac{1}{2}
b) 2
c) -\frac{1}{2}
d) -2

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,2) e B=(-2,-1) e pede a abscissa de C=(x,0) no eixo x que torna mínima a soma dos quadrados das distâncias \,AC e \,BC.
Conteúdo: otimização de função real de uma variável usando derivada.

Passo 2

Escrevemos cada distância ao quadrado em função de x:
AC^2 = (x-1)^2 + (0-2)^2 = (x-1)^2 + 4,
BC^2 = (x+2)^2 + (0+1)^2 = (x+2)^2 + 1.

Passo 3

Formamos a função cuja minimização queremos:
f(x) = AC^2 + BC^2 = \bigl[(x-1)^2+4\bigr] + \bigl[(x+2)^2+1\bigr].
Expandindo:
f(x) = (x^2 -2x +1) + 4 + (x^2 +4x +4) + 1 = 2x^2 + 2x + 10.

Passo 4

Para achar o mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
f'(x) = 4x + 2,
4x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac12.
Como f''(x)=4>0, esse ponto é de fato mínimo.

Resposta

-\tfrac12 (alternativa c)

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