Seja o triângulo de vértices A(2, x), B(x, 3) e C(1,5). Se a área do triângulo A B C é máxima, então x é igual a:
a) 1
b) -3
c) 4
d) 3

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices
A=(2,x),\quad B=(x,3),\quad C=(1,5)
e pede o valor de x que torna a área de ABC máxima. Vamos usar a fórmula da área em função de determinante:
\mathcal{A}(x)=\frac12\bigl|\det\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\bigr)\bigr|.

Passo 2

Primeiro calculamos os vetores
\overrightarrow{AB}=B-A=(x-2,\;3-x), \quad \overrightarrow{AC}=C-A=(1-2,\;5-x)=(-1,\;5-x).

Passo 3

O determinante desses vetores é
\det\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\bigr) =(x-2)(5-x)\;-\;(3-x)(-1).
Expandindo,
(x-2)(5-x)= -x^2+7x-10,
então
\det = -x^2+7x-10 \;+\;(3-x) = -x^2+6x-7.
Logo
\mathcal{A}(x)=\frac12\bigl|-x^2+6x-7\bigr|.

Passo 4

Para maximizar a área “sem sinal” analisaríamos \bigl|-x^2+6x-7\bigr|, que não tem máximo global em \mathbb{R}. Porém, dentro do intervalo onde o determinante é não negativo (isto é, entre as raízes de -x^2+6x-7), a função interna
f(x)=-x^2+6x-7
é uma parábola côncava para baixo. O máximo de f ocorre no vértice
x_v = -\frac{b}{2a} =-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3.
Como f(3)=2>0, nesse ponto a área sem o módulo é máxima, e portanto a área do triângulo também.

Resposta

3

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