Dados a, b \in \mathbb{Z} arbitrários, mostre que:
Se a^{2}=a, então a=0 ou a=1.

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{Z} são inteiros arbitrários e pede para mostrar a seguinte afirmação: "Se a^{2}=a, então a=0 ou a=1".
Informações relevantes: a condição é a^{2}=a (apenas a aparece nessa condição; b está presente no enunciado mas não é usado na prova). A tarefa é demonstrar que, sob essa condição, o único valores inteiros possíveis para a são 0 ou 1.

Passo 2

Reescrevemos a condição subtraindo a de ambos os lados para obter uma forma que permite fatorar:
a^{2}=a \quad\Longrightarrow\quad a^{2}-a=0.
Explicando a fatoração: em uma expressão polinomial como a^{2}-a podemos retirar o fator comum a (pois a^{2}=a\cdot a e -a=a\cdot(-1)), logo
a^{2}-a = a\cdot a - a = a\cdot(a-1).
Portanto a equação fica
a(a-1)=0.

Passo 3

Agora usamos um fato elementar sobre inteiros: se o produto de dois inteiros é 0, então pelo menos um dos fatores é 0. Vou provar esse fato de forma simples e direta (sem termos abstratos): suponha x,y\in\mathbb{Z} e xy=0. Se x\neq 0 e y\neq 0, então |x|\ge 1 e |y|\ge 1, e assim
|xy| = |x||y| \ge 1\cdot 1 = 1,
o que contradiz o fato de xy=0 (pois então |xy|=0). Logo não é possível que ambos sejam não nulos; portanto pelo menos um dos fatores deve ser 0. Esse argumento vale para todos os inteiros.

Passo 4

Aplicando o fato do passo anterior à igualdade encontrada em a(a-1)=0, concluímos que ou
a=0 \quad\text{ou}\quad a-1=0.
Se a-1=0 então a=1. Assim os únicos possíveis valores inteiros que satisfazem a^{2}=a são a=0 e a=1.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): \,0^{2}=0 e \,1^{2}=1, então ambos cumprem a condição. Qualquer outro inteiro a (por exemplo a=2 ou a=-1) não satisfaz a^{2}=a (por exemplo 2^{2}=4\neq 2 e (-1)^{2}=1\neq -1).

Resposta

a=0 ou a=1

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