Dados
arbitrários, mostre que:
Se
, então
ou
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
são inteiros arbitrários e pede para mostrar a seguinte afirmação: "Se
, então
ou
".
Informações relevantes: a condição é (apenas
aparece nessa condição;
está presente no enunciado mas não é usado na prova). A tarefa é demonstrar que, sob essa condição, o único valores inteiros possíveis para
são
ou
.
Informações relevantes: a condição é
Passo 2
Reescrevemos a condição subtraindo
de ambos os lados para obter uma forma que permite fatorar:
Explicando a fatoração: em uma expressão polinomial como
podemos retirar o fator comum
(pois
e
), logo
Portanto a equação fica
Passo 3
Agora usamos um fato elementar sobre inteiros: se o produto de dois inteiros é
, então pelo menos um dos fatores é
. Vou provar esse fato de forma simples e direta (sem termos abstratos): suponha
e
. Se
e
, então
e
, e assim
o que contradiz o fato de
(pois então
). Logo não é possível que ambos sejam não nulos; portanto pelo menos um dos fatores deve ser
. Esse argumento vale para todos os inteiros.
Passo 4
Aplicando o fato do passo anterior à igualdade encontrada em
, concluímos que ou
Se
então
. Assim os únicos possíveis valores inteiros que satisfazem
são
e
.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança):
e
, então ambos cumprem a condição. Qualquer outro inteiro
(por exemplo
ou
) não satisfaz
(por exemplo
e
).