Problema 04. Sabendo que w=\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+i \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi}{7}\right), onde i=\sqrt{-1}. O valor da expressao \Pi_{k=0}^{6}\left(w^{3 k}+w^{k}+1\right) é igual a:
A) 18
B) 21
C) 24
D)28
E)32

Passo 1

O enunciado dá w=\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)+i\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{7}\right). Pergunta o valor de
\prod_{k=0}^{6}\bigl(w^{3k}+w^{k}+1\bigr).
Informações relevantes:
  • w=e^{2\pi i/7} é uma raiz primitiva 7‑ésima da unidade, logo w^7=1 e w\neq1.
  • O produto vai sobre todas as potências w^k com k=0,1,\dots,6, ou seja, sobre todas as raízes 7‑ésimas da unidade (incluindo 1).
  • Definindo o polinômio f(x)=x^3+x+1, a expressão pedida é
\prod_{k=0}^{6} f(w^k),
pois f(w^k)=w^{3k}+w^k+1.

Passo 2

Vamos transformar o produto sobre as raízes de x^7-1 em um produto sobre as raízes de f(x). Seja:
  • f(x)=\prod_{i=1}^{3} (x-\alpha_i), onde \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 são as raízes (possivelmente complexas) de f.
  • g(x)=x^7-1=\prod_{j=1}^{7} (x-\beta_j), onde \beta_j são as 7 raízes da unidade; entre elas estão \beta_j=w^k para k=0,\dots,6.
Faço a conta direta:
\prod_{j=1}^{7} f(\beta_j) = \prod_{j=1}^{7} \prod_{i=1}^{3} (\beta_j-\alpha_i) = \prod_{i=1}^{3} \prod_{j=1}^{7} (\beta_j-\alpha_i).
Mas \prod_{j=1}^{7} (\beta_j-\alpha_i)=(-1)^7\prod_{j=1}^{7}(\alpha_i-\beta_j)= -\,g(\alpha_i), porque g(\alpha_i)=\prod_{j=1}^{7}(\alpha_i-\beta_j). Portanto:
\prod_{j=1}^{7} f(\beta_j)=(-1)^{3\cdot7}\prod_{i=1}^{3} g(\alpha_i)=(-1)^{21}\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i^7-1).
Como (-1)^{21}=-1, obtemos a identidade útil
\prod_{k=0}^{6} f(w^k) = -\prod_{i=1}^{3}\bigl(\alpha_i^7-1\bigr).

Passo 3

Agora precisamos calcular \prod_{i=1}^{3}(\alpha_i^7-1). Para isso, usamos que cada \alpha satisfaz f(\alpha)=0, isto é:
\alpha^3+\alpha+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^3=-\alpha-1.
Vamos reduzir potências elevadas de \alpha usando essa relação passo a passo (assim dá para calcular \alpha^7 em termos de potências menores).

Passo 4

Calculemos potências sucessivas de \alpha reduzidas por f(\alpha)=0:
  • \alpha^3=-\alpha-1.
  • Multiplicando por \alpha: \alpha^4=\alpha\cdot\alpha^3=\alpha(-\alpha-1)=-\alpha^2-\alpha.
  • Multiplicando por \alpha novamente: \alpha^5=\alpha\cdot\alpha^4=\alpha(-\alpha^2-\alpha)=-\alpha^3-\alpha^2. Substituindo \alpha^3=-\alpha-1:
\alpha^5 = -(-\alpha-1)-\alpha^2 = \alpha+1-\alpha^2.
  • Para \alpha^6: \alpha^6=(\alpha^3)^2 =(-\alpha-1)^2=\alpha^2+2\alpha+1.
  • Para \alpha^7: \alpha^7=\alpha\cdot\alpha^6=\alpha(\alpha^2+2\alpha+1)=\alpha^3+2\alpha^2+\alpha.
    Agora substituímos \alpha^3=-\alpha-1 em \alpha^7:
\alpha^7 = (-\alpha-1) + 2\alpha^2 + \alpha = 2\alpha^2 -1.
Portanto
\alpha^7-1 = 2\alpha^2 -2 = 2(\alpha^2-1).

Passo 5

Com \alpha^7-1 = 2(\alpha^2-1)=2(\alpha-1)(\alpha+1), o produto sobre as três raízes \alpha_i é
\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i^7-1) = 2^3 \prod_{i=1}^{3}(\alpha_i-1)\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i+1).
Agora usamos a relação entre os coeficientes de f e esses produtos. Como f(x)=\prod_{i=1}^{3}(x-\alpha_i), para qualquer número c vale:
f\text{(c)}=\prod_{i=1}^{3}(c-\alpha_i)=(-1)^3\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i-c) = -\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i-c).
Assim:
\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i-1) = -f(1),\qquad \prod_{i=1}^{3}(\alpha_i+1)=\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i-(-1)) = -f(-1).
Calculemos f(1) e f(-1):
f(1)=1^3+1+1=3,\qquad f(-1)=(-1)^3+(-1)+1=-1-1+1=-1.
Portanto
\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i-1)\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i+1) = (-f(1))(-f(-1)) = f(1)f(-1)=3\cdot(-1)=-3.
Logo
\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i^7-1) = 8\cdot(-3) = -24.

Passo 6

Voltando à relação do Passo 2:
\prod_{k=0}^{6} f(w^k) = -\prod_{i=1}^{3}(\alpha_i^7-1).
Substituindo o valor encontrado:
\prod_{k=0}^{6} f(w^k) = -(-24)=24.

Passo 7

Interpretação final: a expressão pedida vale 24. Conferindo com as alternativas, corresponde à letra C.

Resposta

C) 24

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