Problema 04. Sabendo que
, onde
. O valor da expressao
é igual a:
A) 18
B) 21
C) 24
D)28
E)32
A) 18
B) 21
C) 24
D)28
E)32
Passo 1
O enunciado dá
. Pergunta o valor de
Informações relevantes:
-
é uma raiz primitiva 7‑ésima da unidade, logo e . - O produto vai sobre todas as potências
com , ou seja, sobre todas as raízes 7‑ésimas da unidade (incluindo ). - Definindo o polinômio
, a expressão pedida é
pois
.
Passo 2
Vamos transformar o produto sobre as raízes de
em um produto sobre as raízes de
. Seja:
-
, onde são as raízes (possivelmente complexas) de . -
, onde são as 7 raízes da unidade; entre elas estão para .
Faço a conta direta:
Mas
, porque
. Portanto:
Como
, obtemos a identidade útil
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Para isso, usamos que cada
satisfaz
, isto é:
Vamos reduzir potências elevadas de
usando essa relação passo a passo (assim dá para calcular
em termos de potências menores).
Passo 4
Calculemos potências sucessivas de
reduzidas por
:
-
. - Multiplicando por
: . - Multiplicando por
novamente: . Substituindo :
- Para
: . - Para
: .
Agora substituímosem :
Portanto
Passo 5
Com
, o produto sobre as três raízes
é
Agora usamos a relação entre os coeficientes de
e esses produtos. Como
, para qualquer número
vale:
Assim:
Calculemos
e
:
Portanto
Logo
Passo 6
Voltando à relação do Passo 2:
Substituindo o valor encontrado:
Passo 7
Interpretação final: a expressão pedida vale
. Conferindo com as alternativas, corresponde à letra C.
Resposta
C) 24