Dados a, b in Z. Utilizando as propriedades da Adição e da Multiplicação em Z, mostre que se tem, :
(-a)(-b)=a b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando as propriedades da adição e da multiplicação em Z, que para quaisquer a,binZ vale (-a)(-b)=ab. Vamos usar que em Z existe elemento neutro aditivo 0, inverso aditivo de cada elemento (denotado por -x) e que a multiplicação é comutativa e distributiva em relação à adição.

Passo 2

Em Z temos por definição de inverso aditivo:
a + (-a) = 0 e b + (-b) = 0

Passo 3

Use a distributividade multiplicativa aplicando a à soma b + (-b)=0:
al(b + (-b)r) = acdot 0 = 0
Pela distributividade esse produto se expande para
a b + a(-b) = 0
Logo, a(-b) é o inverso aditivo de ab, ou seja
a(-b) = -(ab)

Passo 4

Agora faça o mesmo multiplicando (-b) pela soma a + (-a)=0:
(-b)l(a + (-a)r) = (-b)cdot 0 = 0
Pela comutatividade da multiplicação e depois pela distributividade:
(-b)a + (-b)(-a) = 0
a(-b) + (-a)(-b) = 0
Já sabemos que a(-b)=-(ab), então substituindo:
-(ab) + (-a)(-b) = 0
Isso diz que (-a)(-b) é o inverso aditivo de -(ab). Mas o inverso do inverso aditivo retorna ao elemento original, isto é
-l(-(ab)r) = ab
Portanto,
(-a)(-b) = ab

Resposta

(-a)(-b)=ab

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