Dados
. Utilizando as propriedades da Adição e da Multiplicação em
, mostre que se tem, :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando as propriedades da adição e da multiplicação em
, que para quaisquer
vale
. Vamos usar que em
existe elemento neutro aditivo
, inverso aditivo de cada elemento (denotado por
) e que a multiplicação é comutativa e distributiva em relação à adição.
Passo 2
Em
temos por definição de inverso aditivo:
Passo 3
Use a distributividade multiplicativa aplicando
à soma
:
Pela distributividade esse produto se expande para
Logo,
é o inverso aditivo de
, ou seja
Passo 4
Agora faça o mesmo multiplicando
pela soma
:
Pela comutatividade da multiplicação e depois pela distributividade:
Já sabemos que
, então substituindo:
Isso diz que
é o inverso aditivo de
. Mas o inverso do inverso aditivo retorna ao elemento original, isto é
Portanto,